การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

การใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

เป็นทฤษฎีที่ช่วยในการหาเศษจากการหารของพหุนาม เช่น หากเราต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม 2×2−5x+6ด้วย x -33333 – 3 ถ้าเราตั้งหารยาวตรงๆ เพื่อที่จะหาเศษนั้นมันจะยุ่งยากและยาวมาก…เพื่อเลี่ยงความยุ่งยากนี้เราก็มีเครื่องมือๆหนึ่ง….ซึ่งก็คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ เพื่อช่วยในการหาเศษจากการหารพหุนามนั้นเอง

ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x-c เมื่อ c เป็นจำนวนจริง แล้วเศษจาการหารจะเท่ากับ p(c)

ตัวอย่าง 1. จงหาเศษจากการหาร X³ – X² – X -15 ด้วย X – 3

พิจารณา เนื่องจาก ตัวหารคือ X – 3 อยู่ในรูปของ X – c ซึ่ง c = 3 โดย p(x) = X³ – X² – X -15

ตัวหาร p(x) ด้วย x – 3 เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c) หรือ p(3)

วิธีทำ เศษจากการหาร = p(3) = (3³) – (3²) – (3) – 15

= 27 – 9 – 3 -15

= 0

แสดงว่า x – 3 เป็นตัวประกอบของ p(x) เพราะเศษจากการหารเป็น 0

ตัวอย่าง 2. กำหนดให้ p(x) = X³ – 6X² + 11X – 6

จงแสดงว่า X – 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ p(x)

พิจารณา X – 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ p(x) คือ เศษจากการหาร ≠ 0

วิธีทำ ท.บ. เศษเหลือ

p(4) = (4)³ – 6(4)² + 11(4) – 6

= 64 – 96 + 44 – 6

= 6

แสดงว่า x – 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ p(x) เพราะเศษจากการหารไม่เป็น 0

การหารสังเคราะห์

การหารสังเคราะห์มักใช้ควบคู่กับทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาได้แล้วว่า p(c) นั้นเป็นตัวประกอบของ p(x) (ในบางกรณี)

วิธีการใช้การหารสังเคราะห์ ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย x – c เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2. เขียน c เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4. นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5. บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6. นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7. บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

ตัวอย่าง 1 กำหนดให้ p(x) = 2X⁴ – X³ – X² + 15X และ p(c) = X + 2

วิธีทำ