คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1
คณิตศาสตร์ ประกอบด้วย 8 บทมีดังนี้
- อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สูงกว่าสอง
- สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- ความคล้าย
อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมบัติของการเท่ากัน
ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริง
- สมบัติสมมาตร
ถ้า a=b แล้ว b=a - สมบัติถ่ายทอด
ถ้า a=b และ b=c แล้ว a=c - สมบัติของการเท่ากัน (การบวก)
ถ้า a=b แล้ว a+c=b+c - สมบัติของการเท่ากัน (การคูณ)
ถ้า a=b แล้ว ac=bc
การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
พหุนามที่อยู่ในรูป A3 + B3 และ A3 – B3 ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
A3 + B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2)
A3 – B3 = ( A – B )( A2 +AB + B2)
สมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือ สมการซึ่งมี x เป็นตัวแปร และมีรูปทั่วไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0
การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ทำได้โดย
1 วิธีแยกตัวประกอบ
2 วิธีกำลังสองสมบูรณ์
3. การใช้สูตร
ความคล้าย
1 รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน
2 รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
1.รูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน
ความคล้าย
สมบัติการคล้าย มี 3 ประการ เรียกว่า สมบัติสมมติ
1.สมบัติการสะท้อน
2.สมบัติสมมาตร
3.สมบัติถ่ายทอด
บทนิยาม รูปหลายเหลี่ยม 2 รูป จะคล้ายกันก็ต่อเมื่อ
1.ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆทุกคู่ตามลำดับ
2.อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
ความสัมพันธ์ในสามเหลี่ยมคล้าย
ถ้ารูปสามเหลี่ยมใดสองรูปคล้ายกันแล้ว อัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มมีขนาดเท่ากันจะเท่ากัน หรืออาจกล่าวได้ว่า อัตราส่วนขแงความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันจะเท่ากัน
2.รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
ทฤษฎีบท ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
รูปหลายเหลี่ยมคล้าย
รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี
- ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทุกคู่ และ
- อัตราส่วนของความยาวของด้านที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน
3.โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
โจทย์ความคล้าย พร้อมเฉลย ม. 3
1. สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นตรง AC และ เส้นตรง BD ตัดกันที่จุด E มีสามเหลี่ยมคู่ใดบ้างที่คล้ายกัน
วิธีทำ
ให้พิจารณา สามเหลี่ยม DEC และสามเหลี่ยม AEB
1 มุม DEC = มุม AEB (มุมตรงข้าม)
2 มุม DCE = มุม EAB (มุมแย้ง)
3 มุม CDE = มุม EBA (มุมแย้ง)
ดังนั้น สามเหลี่ยม DEC คล้ายกับสามเหลี่ยม AEB เพราะมีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆครบ 3 คู่
2. สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี เส้นตรง AD ตั้งฉากกับ เส้นตรง BC ที่จุด D
- จงบอกชื่อรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน พร้อมเหตุผล และหาค่า x และ y
พิสูจน์ว่าแต่ละรูปสามเหลี่ยม 2 รูปคล้ายกัน คือ จะต้องมีมุทเท่ากันทั้ง 3 คู่
ΔDBA ∼ ΔABC เพราะ
1 มุม BDA = มุม BAC ( มุมฉาก 90 องศา)
2 มุม DBA = มุม ABC (มุมร่วม)
3 มุม DAB = มุม ACB (มุมภายในสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา)
ΔDAC ∼ ΔABC เพราะ
1 มุม CDA = CAB
2 มุม DCA = ACB
DAC = ABC
ΔDBA ∼ ΔDAC เพราะ
1 มุม BDA = ADC
2 มุม DAB = DCA
3 มุม ABD = CAD
