สมบัติของจำนวนจริง มีความสำคัญต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของจำนวนต่างๆในระบบจำนวนจริง การดำเนินการนี้หมายถึงการบวกและการคูณ ความรู้เกี่ยวกับสมบัติของจำนวนจริงมีความสำคัญเพราะเป็นพื้นฐานในการศึกษาขั้นสูงต่อไปทั้งทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ กล่าวคือ จำนวนจริงใดๆจะมีสมบัติการเท่ากัน สมบัติการบวก และสมบัติการคูณของจำนวนจริง ซึ่งมีรายละเอียดดังนี้

เลขโดด (Digit)

ระบบจำนวน (Number system)

จำนวนเต็ม (Integers : I)

จำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนนับ

 (Natural or Counting numbers : N)

จำนวนถัดไป (Consecutive numbers)

ค่าประจำหลัก (Place value)

จำนวนบวก(Positive number)

จำนวนลบ (Negative number)

จำนวนระบุทิศทาง (Directed numbers)

จำนวนคู่ (Even number)

จำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วย 2 แล้วไม่เหลือเศษ เช่น -2 , 2 , 12 , 24
หรือ จำนวนเต็มซึ่งลงท้ายด้วย 0 , 2 , 4 , 6 หรือ 8เป็นจำนวนคู่
114 , 2748 , 38759926 ต่างก็เป็นจำนวนคู่

จำนวนคี่ (Odd number)

จำนวนเต็มใดๆ ที่หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษ เช่น -5 , 5 , 7 , 21
จำนวนเต็มซึ่งลงท้ายด้วย 1 , 3 , 5 , 7 , 9 เป็นจำนวนคี่
17 , 579 และ 82603 ต่างก็เป็นจำนวนคู่

จำนวนเฉพาะ (Prime number)

จำนวนที่หารด้วย 1 และตัวมันเอง เรียนกว่า จำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะสิบตัวแรก ได้แก่ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23และ 29
ซึ่งมีจำนวนเฉพาะไม่จำนวนจำนวน จำนวนเฉพาะที่แสดงไว้ยังไม่สิ้นสุด

จำนวนประกอบ (Composite number)

จำนวนใดๆ ที่ไม่ใช้จำนวนเฉพาะ เป็นจำนวนประกอบ เช่น 6 , 9 , 20 , 27 เป็นต้น

จำนวนกำลังสอง (Square number)

จำนวนสามเหลี่ยม (Triangular number)

        1.2.1 สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

            กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง มีดังนี้

            1. สมบัติการสะท้อนคือ a = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆย่อมเท่ากับจำนวนจริงจำนวนนั้น เช่น 4 =4 , 6 = 6

            2. สมบัติการสมมาตร คือ ถ้า a = b แล้ว b = a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนจริงใดๆที่เท่ากัน สามารถสลับตำแหน่งกันได้ เช่น a = 6 แล้ว 6 = a หรือ  b= -2 และ –2 = b

            3. สมบัติการถ่ายทอด คือ ถ้า a = b และ b = c แล้วจะได้ a = c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริง ถ้าจำนวนที่หนึ่งเท่ากับจำนวนที่สองและจำนวนที่สองเท่ากับจำนวนที่สามแล้ว จำนวนที่หนึ่งและจำนวนที่สามจะเท่ากันด้วย

            4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c หรือกล่าวได้ว่าสำหรับจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากันเมื่อบวกแต่ละจำนวนด้วยจำนวนที่เท่ากันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a + 9 = b + 9

                                             b = c แล้ว b + 1 = c + 1

            5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน คือ ถ้า a = b แล้ว a*c = b*c หรือกล่าวได้ว่าถ้าจำนวนจริงสองจำนวนที่เท่ากันเมื่อคูณแต่ละจำนวนด้วยจำนวนเดียวกันแล้ว ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากันด้วย เช่น a = b แล้ว a  3 = b  3

                        b = c แล้ว b  4 = c  4

จากที่กล่าวมา จะเห็นว่าสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง จะมีสมบัติ 5 ข้อ คือสมบัติการสะท้อน สมบัติการสมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน และสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน เพื่อความเข้าใจในเรื่องสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ขอให้ศึกษาจากตัวอย่างต่อไปนี้

    ตัวอย่างที่ 1.1 จงพิจารณาและบอกสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริงว่าตรงกับสมบัติในข้อใด

                      1. ถ้า a = b แล้ว b = 5 แล้ว a = 5

                      2. ถ้า  – 3 = 15 แล้ว  = 18

                      3. ถ้า = 5 แล้ว  = 40

4. a = 3 และ= a

    วิธีทำ

                    1. ถ้า a = b แล้ว b = 5 แล้ว a = 5

                     สมบัติการถ่ายทอด

                     กล่าวคือ ถ้า a = b และ b = c แล้ว จะได้ a = c เพราะถ้าจำนวนหนึ่งเท่ากับจำนวนที่สอง จำนวนที่สองเท่ากับจำนวนที่สามแล้ว จำนวนหนึ่งและจำนวนที่สามจะเท่ากันด้วย

2. ถ้า  – 3 = 15 แล้ว   = 18

                     สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน

กล่าวคือ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c โจทย์ข้อนี้ใช้ 3 บวกทั้งสองข้าง ดังนี้

ถ้า  – 3 = 15

แล้ว  – 3 + 3 = 15 + 3

ดังนั้น  = 18

3. ถ้า = 15 แล้ว   = 40

                     สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน

กล่าวคือ ถ้า a = b แล้ว a   c = b   c โจทย์ข้อนี้ใช้ 8 คูณทั้งสองข้าง ดังนี้

ถ้า  = 5

แล้ว  8 = 5  8

ดังนั้น  = 40

พาลินโดรม (Palindrome)

จำนวนแพนดิจิท (Pandigital number)

จำนวนตรรกยะ (Rational number)

จำนวนอตรรกยะ (Irrational number)

จำนวนจริง (Real numbers)

       1.2.2 สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

            กำหนด  a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง มีดังนี้

            1. สมบัติปิดการบวก ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a+b เป็นจำนวนจริงด้วย เช่น 1 และ 5 เป็นจำนวนจริง 1 + 5 = 6 เป็นจำนวนจริงด้วย

            2. สมบัติการสลับที่ของการบวก ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + b = b + a เช่น 4 + 5 = 5 + 4 เพราะได้คำตอบเท่ากับ 9 เท่ากัน

            3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c

            4. เอกลักษณ์การบวก เนื่องจากในระบบจำนวนจริง มี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ถ้า a เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a + 0 = 0 + a = a หรืออาจกล่าวได้ว่า 0 เมื่อนำไปบวกกับจำนวนจริงใดๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น เช่น 4 + 0 = 0 + 4 = 4

            5. อินเวอร์สการบวก คือ a + (-a) = (-a) + a = 0 นั่นคือในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี –a เป็นอินเวอร์สการบวก หรืออาจกล่าวได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วจะมีจำนวนจริง จำนวนหนึ่งเขียนแทนด้วย –a ที่ทำให้ a + (-a) = -a = a = 0 เรียก –a ว่าเป็นอินเวอร์สการบวกของ a นั่นคือ ถ้าสองจำนวนบวกกันได้เท่ากับ 0 จะเรียกว่าจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน

       1.2.3 สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

            กำหนด  a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง มีดังนี้

            1. สมบัติปิดการคูณ คือ a*b หรือเขียนเป็น ab ได้จำนวนจริงด้วย กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a*b เป็นจำนวนจริงด้วย

            2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ คือ  a*b = b*a หรือเขียนเป็น ab = ba กล่าวคือ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จะได้ a*b = b*a

            3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ คือ a* (b*c) = (a*b)*c a หรือเขียนเป็น (bc) = (ab)c กล่าวคือ ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงแล้วจะได้ a* (b*c) = (a*b)*c a

            4. เอกลักษณ์การคูณ คือ (1*a) = (a*1) = a ในระบบจำนวนจริง กำหนดให้ 1 เป็นสัญลักษณ์สำหรับการคูณ ถ้า a เป็นจำนวนจริง แล้วจะได้ 1*a = a*1 = a หรือกล่าวได้ว่า 1 เมื่อนำไปคูณกับจำนวนใดๆ ผลลัพธ์ย่อมได้จำนวนนั้น

            5. อินเวอร์สการคูณ สำหรับจำนวนจริงใดๆที่ a ≠ 0 แต่ะจำนวนจะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง เขียนแทนด้วยว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของ a หรือกล่าวได้ว่าจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้เท่ากับ 1 จะเรียกจำนวนทั้งสองว่าเป็นอินเวอร์สการคูณของกันและกัน

            6. สมบัติการแจกแจง

จากที่กล่าวมา จะเห็นว่าสมบัติการคูณของจำนวนจริง จะมีสมบัติ 6 ข้อคือ สมบัติปิดการคูณ สมบัติการสลับที่ของการคูณ สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ เอกลักษณ์การคูณ อินเวอร์สการคูณ สมบัติการแจกแจง ดังกล่าวข้างต้นเพื่อความเข้าใจในเรื่องสมบัติกาารคูณของจำนวนจริง ขอให้ศึกษาจากตัวอย่าง