ความน่าจะเป็น เบื้องต้น

ความน่าจะเป็น

นิยามต่างๆ ในหัวข้อ ความน่าจะเป็น (Probability)

การทดลองสุ่ม (Random experiment) คือ การทดลองหรือการกระทำที่ไม่สามารถระบุอย่างแน่นอนว่าผลลัพธ์ในการทดลองเป็นอย่างไร

เช่น การโยนเหรียญเรารู้ว่าผลลัพธ์คือหงายหัวหรือก้อย แต่ไม่รู้ว่าจะหงายหน้าใด หรือ การโยนลูกเต๋าซึ่งสามารถออกแต้มหนึ่งถึงหก แต่จะออกหน้าใดไม่รู้

แซมเปิลสเปซ (Sample space) คือ เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่มในแต่ละครั้ง

เช่น 1. การโยนเหรียญ1 อัน 1 ครั้ง พบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมีได้ทั้งหมด 2 ผลลัพธ์ คือ หัว (H) หรือ ก้อย (T) ดังนั้น แซมเปิลสเปซ S = {H, T}

2. การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง พบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมีได้ทั้งหมด 4 ผลลัพธ์

ดังนั้น แซมเปิลสเปซ S = {HH, HT, TH, TT}

3. โยนลูกเต๋า 1 ลูก สนใจแต้มที่ลูกเต๋าหงาย พบว่า ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด 6 ผลลัพธ์ คือ 1,2,3,4,5 หรือ 6 ดังนั้น แซมเปิลสเปซ S = {1,2,3,4,5,6}

หมายเหตุ การทดลองสุ่มอย่างเดียวกัน อาจเขียนแซมเปิลสเปซได้หลายแบบ ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจ

เหตุการณ์ (Event)

ในการทดลองสุ่มบางครั้งเราสนใจเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมากกว่าที่จะสนใจแต่ละผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ เหตุการณ์ต่างๆ นี้เป็นเซตของผลลัพธ์ ดังนั้น เหตุการณ์ คือ เซตย่อยของแซมเปิลสเปซ

เช่น จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูกใน 1 ครั้ง ถ้าสนใจเหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋า 2 ลูก เท่ากับ 10 ดังนั้น เราจะได้

แซมเปิลสเปซ S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

และให้ E แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋า 2 ลูกเท่ากับ 10 ดังนั้น

E = {(4,6), (5,5), (6,4)}

นิยาม ให้ S แทนแซมเปิลสเปซ ซึ่งเป็นเซตจำกัด และ E แทนเหตุการณ์ เราจะให้

n(S) = จำนวนผลลัพธ์ใน S และ n(E) = จำนวนผลลัพธ์ใน E

จากนิยามจะพบว่า

1. 0 £ n(E) £ n(S)

2. n(E) = 0 ก็ต่อเมื่อ E = f (ไม่มีผลลัพธ์ใน E )

3. n(E) = n(S) ก็ต่อเมื่อ E = S

ความน่าจะเป็น (Probability) หมายถึง ตัวเลขที่ใช้เป็นมาตรการในการบอกโอกาสที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ว่ามีโอกาสเกิดขึ้นได้มากหรือน้อยเพียงใด โดยค่าความน่าจะเป็นมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

นิยาม ให้ S แทนแซมเปิลสเปซจากการทดลองสุ่ม โดยที่ผลลัพธ์แต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่า ๆ กัน และ E เป็นเหตุการณ์ ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ซึ่งต่อไปจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(E) หมายถึงอัตราส่วนของ n(E) ต่อ n(S) นั่นคือ

ตัวอย่าง จากการโยนลูกเต๋า 2 ลูกใน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋า 2 ลูก เท่ากับ 10

วิธีทำ S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

E = {(4,6), (5,5), (6,4)}

จะได้ว่า n(S) = 36 , n(E) = 3

ดังนั้น P(E) = n(E) / n(S) = 3/36 = 0.083 #

ตัวอย่าง การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะเหรียญจะขึ้นหัว 1 เหรียญ

วิธีทำ S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4

E = {HT, TH} , n(E) = 2

ดังนั้น P(E) = n(E) / n(S) = 2/4 = 0.5 #

หมายเหตุ

1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ ก็คือ ตัวเลขตัวหนึ่งซึ่งบอกให้เราทราบว่า เหตุการณ์นั้น ๆ มีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เช่น ถ้า P(E) = แสดงว่า เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นเพียง 1 ใน 2 หรืออาจจะกล่าวได้ว่า เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นและไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่า ๆ กัน

2. ถ้า S เป็นเซตจำกัด เราทราบแล้วว่า 0 £ n(E) £ n(S) ดังนั้น 0 £ P(E) £ 1

3. P(E) = 0 ก็ต่อเมื่อ E = f

4. P(E) = 1 ก็ต่อเมื่อ E = S

การแจกแจงความน่าจะเป็น

ในการกระทำอย่างหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอาจมีลักษณะเป็นตัวเลข หรือไม่เป็นตัวเลขก็ได้

เช่น ถ้าโยนลูกเต๋า 1 ลูก แซมเปิลสเปซ คือ S = {1,2,3,4,5,6} เมื่อสมาชิกในแซมเปิลสเปช คือ แต้มที่เป็นไปได้ กรณีนี้แซมเปิลสเปซเป็นค่าตัวเลข

หรือ ถ้าโยนเหรียญ 2 อันพร้อมกัน แซมเปิลสเปซ คือ S = {HH, HT, TH, TT} ซึ่งแซมเปิลสเปซนี้ไม่เป็นตัวเลข ในบางครั้งเพื่อความสะดวกในการนำไปคำนวณ เราจึงกำหนดตัวเลขเพื่อใช้แทนสมาชิกในแซมเปิลสเปซ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า ตัวแปรสุ่ม

นิยาม ตัวแปรสุ่ม (Random variables) (หรืออาจมองว่าเป็น ฟังก์ชัน ซึ่งใช้สัญลักษณ์ )

เราจะเรียกฟังก์ชันที่เกิดจากการความสัมพันธ์จาก แซมเปิลสเปช ไปยัง จำนวนจริง ว่า ตัวแปรสุ่ม

นั่นคือ หรือ เมื่อ เป็นจำนวนจริงใดๆ

หมายเหตุ โดเมนของ มีค่าเป็น

ประเภทของตัวแปรสุ่ม

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete random variable)

เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าเป็นตัวเลข เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องกัน แซมเปิลสเปซมีสมาชิกเป็นจำนวนที่นับได้ และมีRange เป็นจุด ๆ

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (Continuous random variable)

เป็นตัวแปรสุ่มที่แสดงค่าเป็นตัวเลข เป็นค่าที่ต่อเนื่องกัน แซมเปิลสเปซมีสมาชิกเป็นจำนวนที่นับไม่ได้ และมี Range เป็นช่วง เช่น ความสูง น้ำหนัก อุณหภูมิ ช่วงเวลา

ตัวอย่าง (ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง) ถ้าให้ X เป็นจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัวในการโยนเหรียญ 2 อัน นั่นคือ

เมื่อ ค่า 0 แทน TT , ค่า 1 แทน HT และ TH , และ ค่า 2 แทน HH

ซึ่งสามารถเขียนเป็นตารางแสดงแซมเปิลสเปซ และค่าของ X ดังนี้

Sample Space

HT, TH

ตัวอย่าง (ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง) ให้ X แทนความสูงของนักเรียนให้ห้อง จะได้ว่า X มีค่าต่าง ๆ กัน โดยที่ค่าที่เป็นไปได้คือ cm

ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

เนื่องจากตัวแปรสุ่มเป็นการกำหนดค่าของเหตุการณ์ต่างๆ ให้เป็นตัวเลข ซึ่งทำให้เราสามารถหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มได้ และเนื่องจากตัวแปรสุ่มมีทั้งแบบต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่องเราจึงใช้นิยามที่ต่างกันดังนี้

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

นิยาม ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งมีค่าเป็น ฟังก์ชัน ซึ่งกำหนดโดย

เมื่อ โดยที่

และ จะเรียก ว่า ฟังก์ชันของความน่าจะเป็น (Probability function) โดยที่ มีคุณสมบัติดังนี้

1. for all

ตัวอย่าง การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้าให้ E = {HT, TH} ถ้าให้ X แทน จำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว

ตัวอย่าง โยนเหรียญ 3 อัน ถ้า คือ ตัวแปรสุ่มที่แสดงจำนวนเหรียญที่ขึ้นหัว ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในทุก ๆ ค่าที่เป็นได้ สามารถเขียนเป็นตารางแสดงได้ดังนี้

เหตุการณ์

P(X = )

TTT

HTT, THT, TTH

HHT, HTH, THH

HHH

1/8

3/8

1/8

รวม

กฎสำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

ให้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปซ สมบัติความน่าจะเป็นของ A ดังนี้

1. 0 P (A) 1

2. ถ้า A = { } แล้ว P (A) = 0 นั่นคือ P ( { } ) = 0

3. ถ้า A = S แล้ว P (A) = 1 นั่นคือ P(S) = 1

สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ

1. P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩B)

2. P (A U B) = P (A) + P (B) เมื่อ A ∩B = { }

3. P (A) = 1 – P (A’)

4. P (A-B) = P (A) – P (A∩B)

ตัวอย่าง กำหนดให้ P (A) = 0.6 P (B’) = 0.4 และ P (A – B) = 0.2 จงหา P (A ‘∩B’)

จาก P (B’) = 0.4
จะได้ว่า P (B) = 1 – P (B’) = 1 – 0.4 = 0.6

จาก P (A) = 0.6 และ P (A – B) = 0.2

เนื่องจาก P (A) = P (A – B) + P (A ∩B)

(ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู)

0.6 = 0.2 + P (A ∩ B)

P (A ∩B) = 0.4

เนื่องจาก P (A’ ∩ B’) = P (A U B)’

= 1 – P (A U B)

จากสมบัติความน่าจะเป็น P (A’ ∩B’) = 1 – [P (A) + P (B) – P (A ∩B)]

= 1 – [0.6 + 0.6 – 0.4] = 1 – 0.8 = 0.2

ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

บางครั้งเราทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เรียกความน่าจะเป็นแบบนี้ว่า ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P (B) > 0 เขียน P (A/B) แทนความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน

พิจารณาในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง จะเห็นว่าการที่การโยนเหรียญครั้งหนึ่งขึ้นหัวหรือก้อย ไม่มีผลต่อการขึ้นหัวหรือก้อยในการโยนครั้งที่สอง
เรากล่าวว่าการโยนทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน

นิยาม เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P (A ∩B) = P (A) P (B)

ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P (A/B) = P (A)

เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P (B/A) = P (B)

ตัวอย่าง โยนลูกเต๋า 2 ลูก 2 ครั้ง จงหาความจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเท่ากับ 5

ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 1 เป็น 5

B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 2 เป็น 5