ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)
คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิกสองตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง
การสลับที่กันของคู่อันดับระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลัง (a,b) (b,a) จะท าให้
ความหมายของคู่อันดับเกิดการเปลี่ยนทันที ดังนั้น จึงสามารถสรุปหลักการของคู่อันดับได้ ดังนี้
1. ถ้า (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a=b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d
3. ถ้า (a,b) (c,d) ก็ต่อเมื่อ a c หรือ b d
ผลค ูณคาร์ทีเชียน
ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็น
เซตของ A และสมาชิกตัวหลังเป็นเซตของ B กล่าวคือ
AxB = {(a,b) | a∊A, b∊B}
สมบัติของผลค ูณคาร์ทีเชียล
ก าหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ
1. AxB BxA
2. Ax⏀=⏀xA=⏀
3. AxB=BxA ก็ต่อเมื่อ A=B หรือ A=⏀ หรือ B=⏀
4. Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
5. Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
6. Ax(B-C)=(AxB)-(AxC)
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัดแล้ว n(AxB) = n(A) x n(B)
8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจ ากัด ซึ่ง B 0 แล้ว AxB และ BxA เป็นเซตอนันต์
ความสัมพันธ์
– r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r⊂AxB
– r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A ก็ต่อเมื่อ r⊂AxA
– จำนวนความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เท่ากับ 2
n(AxB)
– เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B เนื่องจาก ⏀⊂AxB
Ex. ให้ A = {x | x เป็นจ านวนเฉพาะ} , B={x | x เป็นจ านวนเต็มบวก}
กำหนดให้ r1 และ r2
เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
r1 = {(x,y) ∊ AxB | y=2x}
r2 = {(x,y) ∊ AxB | y=x2
พิจารณาความสัมพันธ์
r1 = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}
r2 = {(x,y) I+x I+ | y = x }
เซตสมาชิกตัวหน้าของความสัมพันธ์ r 1 คือ {1,2,3,4} เรียกเซตนี้ว่า โดเมนของ r1
เซตสมาชิกตัวหลังของความสัมพันธ์ r 1 คือ {2,3,4,5} เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ของ r1
ส่วน r2 มีโดเมนและเรนจ์เท่ากับจำนวนเต็มบวก
บทนิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
เรนจ์ของ r คือเซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R r
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
1. ผลคูณคาร์ทีเชียน(Cartesian Product)
นิยาม คูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และ B คือ เซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a Î A และ b Î B เช่น A = { 1,2,3} , B = {4,5,6}
และ A x B คือ ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ เซต B ดังนั้น
A x B = {(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)}
2. ความสัมพันธ์ (Relation) หมายถึง เซตของคู่ลำดับ
2.1 ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ(Order Pairs) ก่อน
2.2 คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเชียนนั่นเอง
3. โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)
ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์
โดเมนของ R : (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ
เรนจ์ ของ R : (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ
ตัวอย่าง R = {(-1,1),(0,0)}
โดเมน คือ {-1,0} เรนจ์ คือ {1,0}
4. ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใด ๆ จะมี
สมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้
เช่น R1 = {(1,2),(1,4)} R1 ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน
R2 = {(1,3),(2,3)} R2 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม
R3 = {(1,4),(2,3)} R3 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม
5. การตรวจสอบความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่
ตัวอย่าง
จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ÎR x R y2 = 4x + 1 } เป็นฟังก์ชันหรือไม่
วิธีทำ
ใช้วิธีที่ 2 จาก y2 = 4x + 1
ให้ (a,b) Î r จะได้ b2 = 4a + 1 ——-(1)
ให้ (a,c) Î r จะได้ c2 = 4a + 1 ——–(2)
จาก (1) และ (2) จะได้ b2 = c2
b = ± c
เราไม่สามารถสรุปได้ว่า b = c แสดงว่าความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน
6. ฟังก์ชันจาก A ไป B ถ้ากำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
มีเงื่อนไข Df = A
7. ฟังก์ชัน 1 – 1 ( One – to – one function )
เป็นฟังก์ชันแบบ 1 – 1 ก็ต่อเมื่อ สมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์
กับสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้น
การตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน แบบ 1-1 หรือไม่ โดย
1. ลากเส้นขนานกับแนวแกน x ตัดกราฟฟังก์ชัน 1 จุด เป็นฟังก์ชัน 1-1
ถ้าตัดกราฟฟังก์ชันมากกว่า 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1
2. ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า กำหนดให้ (a , c) Î f และ (b , c) Îf
เราสามารถสรุปได้ว่า a = b ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันแบบ1-1
8. ฟังก์ชันไปทั่วถึง(onto function)
ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ Rf = B
9. พีชคณิตของฟังก์ชัน คือ การนำฟังก์ชันมา บวก ลบ คูณ และหารกัน
10. อินเวอร์สของฟังก์ชัน (f-1)
r = {(x,y) xÎA, yÎB } r-1 = {(y,x) (x,y)Îr }
(1) ที่ใดมี x แทนด้วย y และที่ใดมี y แทนด้วย x
(2) พยายามทำให้อยู่ในรูป y = f(x)
(3) y ตัวนี้คือ f-1 นั่นเอง
กรณีเขียนเป็นรูปคู่อันดับ การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f-1) ทำได้โดย
ถ้า f = {(a,1),(b,2),(c,3)}
ดังนั้น f-1 = {(1,a),(2,b),(3,c)}
11.ฟังก์ชันคอมโพสิท(composite function) เป็นการกระทำตั้งแต่ฟังก์ชัน 2
ฟังก์ชันขึ้นไป โดยมีลักษณะเหมือนกับการนำฟังก์ชันนั้นมาเชื่อมกัน
ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C
เราสามารถสร้างฟังก์ชันจาก A ไป C ได้โดยเขียนแทนด้วย gof(x) = gf(x)
จะสร้าง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ f ต้องเป็นสับเซตของโดเมน g
ทดสอบความเข้าใจ
ข้อ 1. จงบอกโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ R ต่อไปนี้
1.1) R1 = {(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1)}
เฉลย
ข้อ 1. โดเมนข้อ R1 = {-3,-2,-1,0,1}เรนจ์ R1 = {9,4,1,0,1}
เรนจ์ R5 = {Y Y Î R และ Y2 < 1 }
