ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)
ผลคูณคาร์ทีเชียน(Cartesian Product)
นิยาม คูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และ B คือเซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a ∈ A
และ b ∈ B เช่น A = { 1,2,3} , B = { 4,5,6}
และ A x B คือ ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ เซต B ดงัน้นั
A x B = { (1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)}
2
บทนิยาม r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B
นั่นคือ ความสัมพันธ์เป็นเซตของคู่อันดับ
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ A = {1,2,3,4} , B = {0,2,4,6}
ให้ r1 แทนความสัมพันธ์ “ น้อยกว่า” จาก A ไป B จะได้
r1 = {(a,b)∊ AxB | a < b} ……[แบบเงื่อนไข]
และ r1 = {(1,2),(1,4),(1,6),(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6)} ……… [แบบแจกแจง]
ให้ r2 แทนความสัมพันธ์ “ หารลงตัว “ จาก B ไป A จะได้
r2 = {(b,a) ∊ B x A | b|a }
r2 = {(2,2),(2,4),(4,4)}
คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิกสองตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัว
หน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง
การสลับที่กันของคู่อันดับระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลัง (a,b) (b,a) จะท าให้
ความหมายของคู่อันดับเกิดการเปลี่ยนทันที ดังนั้น จึงสามารถสรุปหลักการของคู่อันดับได้ ดังนี้
1. ถ้า (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a=b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อ a=c และ b=d
3. ถ้า (a,b) (c,d) ก็ต่อเมื่อ a c หรือ b d
ผลค ูณคาร์ทีเชียน
ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็น
เซตของ A และสมาชิกตัวหลังเป็นเซตของ B กล่าวคือ
AxB = {(a,b) | a∊A, b∊B}
คุณสมบัติของความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์สะท้อน R บนเซต A
สำหรับทุกสมาชิก a ∊ A ความสัมพันธ์ (a,a) ∊ R
ตัวอย่าง
กา หนด เซต A = {1,2,3,4}
และ R = {(1,1),(1,2), (2,1),(2,2),(3,4),(3,3),(4,3),(4,4)}
วิธีท า
พิจารณา สมาชิก (1,1), (2,2), (3,3) และ (4,4) R
ดังน้ัน R มีคุณสมบัติของความสัมพันธ์สะท้อน
ความสัมพันธ์สมมาตร R บนเซต A
ถ้า (a,b) ∊ R แล้ว (b,a) ∊ R ส าหรับ a, b ∊ A
ตัวอย่าง
กา หนด A = {1,2,3,4}
และ R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(4,4)}
วิธีท า
พิจารณา
(1,1) ∊ R → (1,1) ∊R เป็นจริง
(1,2) ∊ R → (2,1) ∊R เป็นจริง
(2,1) ∊ R → (1,2) ∊ R เป็นจริง
(2,2) ∊ R → (2,2) ∊ R เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 3 ให้ A = {0,1,2,} และ B = { a,b} แล้ว{ (0,a) , (0,b) , (1,a) , (2,b) } เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
และได้ว่า 0 R a แต่ 1 ~R b
ความสัมพันธ์สามารถเขียนแทนด้วยกราฟได้ดังรูปที่ 1 (a)
หรือแทนด้วยตาราง ดังรูปที่ 1 (b)
รูปที่ 1 แสดงการจัดระเบียบแบบคู่ ในความสัมพันธ์ R จากตัวอย่างที่ 3
นิยาม 2 ความสัมพันธ์บนเซต A คือ ความสัมพันธ์จาก A ไป A
หรือความสัมพันธ์บนเซต A คือซับเซตของ A ด A
ตัวอย่างที่ 4 ให้ A เป็นเซต {1, 2, 3,4} R เป็นความสัมพันธ์บน A กำหนดโดย
R = {(a,b) | a / b } จงเขียนความสัมพันธ์ R แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทำ (a,b) อยู่ใน R ก็ต่อเมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 4 และ a / b
ดังนั้น R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (4,4)}
รูปที่ 2 เป็นกราพ และ ตาราง แสดงความสัมพันธ์ R จากตัวอย่างที่ 4
ตัวอย่างที่ 5 พิจารณาความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็ม ต่อไปนี้
อยากทราบว่าคู่อันดับต่อไปนี้อยู่ในความสัมพันธ์ใดบ้าง
(1,1), (1,2), (2,1), (1, -1) และ (2,2)
วิธีทำ
คู่ลำดับ (1,1) อยู่ใน R1 ,R3 , R4 และ R6
คู่ลำดับ (1,2) อยู่ใน R1 และ R6
คู่ลำดับ (2,1) อยู่ใน R2, R5 และ R6
คู่ลำดับ (1,-1) อยู่ใน R2 ,R3 และ R6
ท้ายสุดคู่ลำดับ (2,2) อยู่ใน R1 ,R3 และ R4ตัวอย่างที่ 6 จงหาจำนวนความสัมพันธ์ บนเซตที่มีสมาชิก n ตัว
วิธีทำ
จากความสัมพันธ์บนเซต A เป็นสับเซตของ A X A
และจากสมาชิกของ A XA มีค่าเท่ากับ n2 เมื่อ A มีค่า เท่ากับ n ดังนั้นจำนวนเซตที่
เป็นเซตย่อยของ 
มีค่าเป็น 
นั่นคือ จำนวนความสัมพันธ์บนเซต A จึงมีทั้งหมด ความสัมพันธ์
สมบัติของผลค ูณคาร์ทีเชียล
ก าหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ
1. AxB BxA
2. Ax⏀=⏀xA=⏀
3. AxB=BxA ก็ต่อเมื่อ A=B หรือ A=⏀ หรือ B=⏀
4. Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
5. Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
6. Ax(B-C)=(AxB)-(AxC)
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัดแล้ว n(AxB) = n(A) x n(B)
8. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจ ากัด ซึ่ง B 0 แล้ว AxB และ BxA เป็น
เซตอนันต์
Ex. กำหนด A={1,2,3} , B={a,b} จงหา AxB, BxA, AxA, BxB
AxB = ? ลองหาคำตอบ
BxA =? ลองหาคำตอบ
AxA = ? ลองหาคำตอบ
BxB = ? ลองหาคำตอบ
ถ้า A และ B เป็นเซตจ ากัด AxB จะมีจ านวนสมาชิกของ A คูณด้วยจ านวนสมาชิกของ
B เช่น ถ้าจ านวนสมาชิกของ A เท่ากับ 3 จ านวนสมาชิกของ B เท่ากับ 2 ดังนั้น จ านวนของ
สมาชิกของ AxB = 3×2 = 6
