ความสัมพันธ์ คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน
ความสัมพันธ์
ความสัมพันธ์ เกิดจากสิ่งสองสิ่งมาเกี่ยวข้องกันภายใต้กฎเกณฑ์บางอย่าง เช่น ความสัมพันธ์ของ a กับ b ซึ่ง a มากกว่า b เป็นต้น
ก่อนที่เราจะเริ่มเนื้อหาของความสำคัญพี่อยากให้น้องๆรู้จักกับคู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเซียน
คู่อันดับ
ในการเขียนคู่อันดับเป็นสิ่งที่ค่อนข้างสำคัญเลยทีเดียว เพราะถ้าน้องๆเขียนคู่อันดับผิดตำแหน่งนั่นหมายความว่า ความหมายของมันจะเปลี่ยนไปทันที
• คู่อันดับ | |||||
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้ | |||||
สมบัติของคู่อันดับ | |||||
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b | |||||
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d | |||||
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d | |||||
• ผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B | |||||
นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B } | |||||
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน | |||||
กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว | |||||
1. | A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A | ||||
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø | |||||
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø | |||||
2. | A × Ø = Ø × A = Ø | ||||
3. | A × ( B ∪ C ) | = (A× B) ∪(A × C) | |||
(A ∪ B) × C | = (A× C) ∪(B × C) | ||||
4. | A × ( B ∩ C ) | = (A× B) ∩ (A × C) | |||
(A ∩ B) × C | = (A× B) ∩ (B × C) | ||||
5. | A × ( B – C ) | = (A× B) – (A × C) | |||
(A – B) × C ) | = (A× C) – (B × C) | ||||
6. | ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C | ||||
7. | ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B) | ||||
8. | ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์ |
ตัวอย่างผลคูณคาร์ทีเซียน
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {4 , 5 } และ B = { 6, 7, 8}
จงหา A X B , B X A , A X A , B X B
วิธีทำ
1. หา A X B
” จะได้คู่อันดับซึ่ง นำสมาชิกของ A มาเป็นสมาชิกตัวแรก
และ นำสมาชิกจาก B มาเป็นตัวที่สอง “
ดังนั้น A X B = { (4,6), (4,7), (4,8), (5,6), (5,7), (5,8) }
B X A = { (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (8,4), (8,5) }
A X A = { (4,4), (4,5), (5,4), (5,5) }
A cross A
B X B={(6,6), (6,7), (6,8) , (7,6),
(7,7) , (7,8), (8,6),(8,7) ,(8,8) }
ตัวอย่างผลคูณคาร์ทีเซียน
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {4 , 5 } ,B = { 4,5, 6}
และ C = { 5,8}
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดให้ A = { 12,18 } , B = {Ø }
หา A X B
วิธีทำ เนื่องจาก B เท่ากับ เซตว่าง ดังนั้น ค่า ของ A X B = Ø
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดให้ A ={1 ,2 } B = {P , Q ,R}
หา A X B โดยใช้ แผนภาพต้นไม้
วิธีทำ
แผนภูมิต้นไม้
A X B = { (1,P), (1,Q), (1,R), (2,P), (2,Q), (2,R) }
ตัวอย่าง R = {(-1,1),(0,0)}
โดเมน คือ {-1,0} เรนจ์ คือ {1,0}
- ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใด ๆ จะมี
สมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้
เช่น R1 = {(1,2),(1,4)} R1 ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน
R2 = {(1,3),(2,3)} R2 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม
R3 = {(1,4),(2,3)} R3 เป็นฟังก์ชัน ตามนิยาม
- การตรวจสอบความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่
- ลากเส้นขนานกับแกน y ตัดกราฟความสัมพันธ์ ได้ 1 จุดเป็นฟังก์ชันแต่ถ้าตัดกราฟเกิน 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน
- ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า กำหนดให้ (a , b) Î r และ (a , c) Îr
เราสามารถสรุปได้ว่า b = c ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน
ตัวอย่าง
จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ÎR x R y2 = 4x + 1 } เป็นฟังก์ชันหรือไม่
วิธีทำ
ใช้วิธีที่ 2 จาก y2 = 4x + 1
ให้ (a,b) Î r จะได้ b2 = 4a + 1 ——-(1)
ให้ (a,c) Î r จะได้ c2 = 4a + 1 ——–(2)
จาก (1) และ (2) จะได้ b2 = c2
b = ± c
เราไม่สามารถสรุปได้ว่า b = c แสดงว่าความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน
- ฟังก์ชันจาก A ไป B ถ้ากำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
มีเงื่อนไข Df = A
- ฟังก์ชัน 1 – 1 ( One – to – one function )
เป็นฟังก์ชันแบบ 1 – 1 ก็ต่อเมื่อ สมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์