เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นสาขาหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ที่เป็นพื้นฐานที่สำคัญวิชาหนึ่งของ คณิตศาสตร์ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการนำความรู้ทางพีชคณิตมาช่วยในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับ เรขาคณิต ดังนั้นวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์จึงเน้นการแก้ปัญหาด้วยวิธีการทางพีชคณิต ทำให้การศึกษาเรขาคณิตง่ายและน่าสนใจขึ้นในแง่ของการศึกษา เรขาคณิต เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นวิธีการศึกษาวิธีการหนึ่ง โดยวิธีการทางเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นการศึกษาความสัมพันธ์ของหลักเกณฑ์ทาง เรขาคณิต และพีชคณิตผสมผสานกัน กุญแจสำคัญของวิธีการนี้ คือ การกำหนดตำแหน่งให้กับจุด เป็นต้นว่า ในระนาบ เรากำหนดตำแหน่งของจุดต่างๆ ด้วยคู่อันดับของจำนวนจริง ตามระบบใดระบบหนึ่ง และใช้ประโยคเชิงพีชคณิต (ประพจน์ สมการ อสมการ เป็นต้น) กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจริงในคู่อันดับนั้น ซึ่งทำให้เราสามารถอธิบายรูปเป็นประโยคเชิงพีชคณิตได้ และในทางกลับกัน เราก็สามารถถ่ายทอดความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณให้เป็นรูปได้ด้วย
ความ คิดทางเรขาคณิตวิเคราะห์ได้ก่อตัวมานาน ตั้งแต่การสำรวจของชาวอียิปต์ และการทำแผนที่โลกของชาวกรีก และเริ่มมีความชัดเจนมากขึ้น เมื่อปีแยร์ เดอ แฟร์มา (Pierre de Fermat, ค.ศ.1601 – 1665) ได้ศึกษาผลงานทางเรขาคณิตในสมัยก่อนๆ ด้วยวิธีการของเขา คือ การศึกษารูปโค้งด้วยสมการทางพีชคณิต ต่อมา เรอเน เดการ์ต (René Descartes, ค.ศ.1596 – 1650) ได้เขียน La Géométrie ภาคผนวกตอนที่ 3 ของหนังสือเล่มหนึ่ง ซึ่งกล่าวถึงการวิเคราะห์ปัญหาและวิธีการทางเรขาคณิตออกเผยแพร่ ใน La Géométrie เดการ์ตได้เสนอหลักการของการกำหนดตำแหน่งให้กับจุดต่างๆ ในระนาบ เป็นการเปิดทาง สำหรับการศึกษาด้วยวิธีการทางเรขาคณิตวิเคราะห์ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เรขาคณิตวิเคราะห์ จึงเริ่มมีบทบาทอย่างมหาศาลในการพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์ และการประยุกต์ สำหรับ ในทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์นอกจากจะเป็นวิธีการที่ช่วยแก้ปัญหายากบางข้อในวิชา เรขาคณิตแบบยูคลิดแล้ว ยังสามารถขยายไปศึกษารูปค้างที่มิใช่รูปทรงเรขาคณิตได้อีก นอกจากนี้ การศึกษาเรขาคณิตวิเคราะห์ยังส่งผลให้เกิดวิชาแคลคูลัส และเป็นแนวทางของการศึกษาคณิตศาสตร์ชั้นสูงบางสาขาด้วย ในวิชาแคลคูลัส ทฤษฎีการประมาณค่าโดยใช้อนุพันธ์ นิยามค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ตลอดจนการหาพื้นที่และปริมาตรของรูปทรง จำเป็นต้องอาศัยรูปและสมการในวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์เข้าช่วย แม้แต่นิยามพื้นฐาน เช่น ลิมิต อนุพันธ์ ตลอดจนอินทิกรัล เราสามารถอธิบายได้ง่ายโดยใช้รูปทางเรขาคณิตวิเคราะห์เข้าช่วยนอกจากจะมีประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์แล้ว เรขาคณิตวิเคราะห์ยังมีบทบาทในการศึกษาด้านต่างๆ ด้วย อาทิ ในวิชาเคมีและฟิสิกส์ ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ในการศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แปรเปลี่ยนไป ในทางยุทธศาสตร์ (การทหาร) ใช่เรขาคณิตวิเคราะห์ในการหาตำแหน่งต้นเสียงปืนใหญ่หรือคลื่นวิทยุ การเลื่อนที่ของลูกปืนและระเบิด ในทางจิตวิทยาและการแพทย์ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ในการศึกษาปฏิกิริยาและ ปรากฏการณ์ของอินทรีย์ (สิ่งมีชีวิต) นอกจากนี้ เราใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ในทางดาราศาสตร์ ในงานวิศวกรรมและสถาปัตยกรรมบางอย่างด้วย แม้จะมีคุณประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์และวิทยาการต่างๆ มากมายดังที่กล่าวมาแล้ว แต่เรขาคณิตวิเคราะห์ก็มีข้อจำกัดหลายประการ กล่าวคือ เราไม่อาจใช้วิธีการทางเรขาคณิตวิเคราะห์แก้ปัญหาบางประการ เช่น ความต่อเนื่องของกราฟ ค่าสูงสุดของฟังก์ชันในโดเมน และหลักเกณฑ์สำหรับหาช่วยที่ฟังก์ชันมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลง ซึ่งปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ได้โดยใช้วิธีการทางแคลคูลัส
กรวยเป็นรูปเรขาคณิตที่มีวิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดังนี้
ให้ a และ b เป็นเส้นตรงใดๆ สองเส้นตัดกันที่จุด V เป็นมุมแหลม ให้เส้นตรง a และจุด V ตรึงอยู่กับที่ ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดยมุม ระหว่างเส้นตรง a และ b มีขนาดคงตัว) เรียกว่า กรวยกลมตรง (right circular cone) ดังแสดงในรูปที่ 1 ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้นและจะเรียกสั้นๆ ว่า กรวย เส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่ เรียกว่า แกน (axis) ของกรวย จุด V เรียกว่า จุดยอด (vertex)
เส้นตรง b ที่ผ่านจุด V ทำมุม กับแกนของกรวย เรียกว่า ตัวก่อกำเนิด (generator) ของกรวย จุดยอด V แบ่งกรวยออกเป็นสองข้าง (nappes) ซึ่งอยู่คนละด้านของจุดยอด
ภาคตัดกรวย คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวย ภาคตัดกรวยที่จะศึกษากันเกิดจากระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอดของกรวยดังแสดงในรูปที่ 2 เมื่อระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวย ระนาบตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม (circle)
เมื่อระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวยแต่ทำมุมแหลมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่กว่า ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียวได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี (ellipse)
เมื่อระนาบขนานกับตัวก่อกำเนิดของกรวยระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่าพาราโบลา (parabola)
และเมื่อระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยสองข้างได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา (hyperbola)
ถ้าระนาบผ่านจุดยอดของกรวย รอยตัดของระนาบกับกรวยจะเป็นจุด หรือเส้นตรงหนึ่งเส้น หรือเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ซึ่งเรียกลักษณะดังกล่าวว่า ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conics) ดังแสดงในรูปที่ 3
การศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์
ในการศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ มีประเด็นหลักที่จะศึกษา 2 ประเด็น คือ
- หาสมการของภาคตัดกรวยแต่ละชนิด
- จำแนกหรือระบุว่ากราฟของสมการเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด แล้วเขียนกราฟของสมการเมื่อกำหนดสมการรูปแบบทั่วไปของภาคตัดกรวย
ตัวอย่าง
เรขาคณิตวิเคราะห์
เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane)
เรขาคณิตวิเคราะห์จึงแบ่งได้ดังนี้
1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า แกน x อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-)
2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย
PQ = (x2-x1)2 + (y2-y1) 2
3. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้
จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2
4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2)
4.1 ความชัน(slop)=tan=m
Q(x1,y1)
ความชัน = m = y2 – y1 x2 – x1
4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m คือ
y – y1 = m(x – x1)
4.3 สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ
y = mx + b
4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ
Ax + By + C = 0
m=-A/B ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นตรง 3x + 4y – 5 = 0
วิธีทำ 4y = -3x + 5 y = -(-3/4)x +(5/4) ความชันคือ -3/4
4.5 เส้นตรง l1 ขนานกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2 เส้นตรง l1 ตั้งฉากกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = -1
5. การหาระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง
กำหนดให้ l เป็นเส้นตรงที่มีสมการ Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยู่นอกเส้น l ดังรูป
P(x1,y1) d l Ax + By + C = 0
ถ้า d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง l
d = Ax1 + By1 + C A2 + B2
