จำนวนเชิงซ้อน ม.5

จำนวนเชิงซ้อน ม.5

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

1. จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1) (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d

2) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

2. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

บทนิยาม

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = (a , b) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่าส่วนจริง (real   part) ของ z และแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และแทนด้วย Im(x)

จากบทนิยามนี้   อาจกล่าวได้ว่า จำนวนจริงก็คือ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์   แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number)

ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน (0, 1)

(0, 1) (0, 1)    =   (0 – 1, 0+0)   =   ( – 1, 0)

ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน ( – 1 , 0) คือจำนวนจริง  – 1 นั่นเอง   เขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน (0, 1) ด้วยสัญลักษณ์ i จะได้ว่า

I² = -1

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน (a , b) ใดๆ

(a , b)   =   (a , 0) + (0, b)

=   (a, 0) +(b, 0) (0, 1)

=   a + bi

ฉะนั้น   จำนวนเชิงซ้อน (a, b) สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ a+ bi

กำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi เมื่อ a และ b  เป็นจำนวนจริง   ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้สมบัติต่างๆ เกี่ยวกับการบวกและการคูณ   เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและคูณของจำนวนจริง และมีข้อมูลตกลงว่า  I² = -1 เช่น

(a + bi) + (c + di)   =   (a+c)+(bi+di)

=   (a+c) + (b+d)i

(a + bi)(c +di)        =   a(c+di)+bi(c+di)

=   ac + adi + bci + bdi²

=   (ac –  bd) + (ad+bc)i

a + bi    =   c+ di   ก็ต่อเมื่อ   a   =   c   และ   b   =   b

ต่อไป   เมื่อกล่าวว่า z = a + bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน   จะถือว่า a และ b เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่  2   จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน 3+ 2i และ 1 – i

วิธีทำ          (3+ 2i) + (1 – i)   =   (3+1) + (2 – 1) i

=   4 + i

(3+2i) (1 – i)       =   3(1 – i)+2i(1 – i)

=   3  –  3i + 2i + 2i²

=   (3+2) + ( – 3+2) i

=   5 –  i

ตัวอย่างที่  3   จงหาจำนวนจริง a , b ทีทำให้  (a+2i) + ( – 1+2bi) = 3 + 8i

วิธีทำ       เนื่องจาก     (a + 2i) + ( – 1 + 2bi)   =   (a – 1) + (2+ 2b)i

ฉะนั้น   a – 1   =   3   และ   2 + 2b   =   8

ดังนั้น   a   =   4      และ   b   =   3

ตัวอย่างที่  4     จงหาผลคูณ   1+ i , 2+ i และ  – 1 + 3i

วิธีทำ       (1+ i)(2+i)( – 1+3i)   =   [(2 – 1) + (1 + 2 ) i ] ( – 1 +3i)

=   (1 + 3i) ( – 1 + 3i)

=   ( – 1 – 9)+(3 – 3) i

=    – 10 + 0i

=    – 10

ข้อสังเกต     เมื่อกำหนด i⁰ = 1แล้ว   จะได้   สำหรับ m    I⁺   {0}

I^4m = 1, i^{4m + 1} = I , i^{4m + 2}  = -1, i^{4m + 3} =  i

สมบัติที่เกี่ยวกับการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า   Z₁ , Z₂ , Z₃ ,เป็นจำนวนเชิงซ้อน   แล้วจะได้ว่า

1.  Z₁ + Z₂ = Z₂ + Z₁ และ Z₁Z₂ = Z₂Z₁                                                                         (สมบัติการสลับที่)

2.  Z₁ + (Z₂ + Z₃) = (Z₁+Z₂) + Z₃ และ Z₁(Z₂Z₃) = (Z₁Z₂) Z₃                              (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม)

3.   Z₁(Z₂ + Z₃) = Z₁Z₂ + Z₁Z₃                                                                              (สมบัติการแจกแจง)

สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน