สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณ(Quantified statement) ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิด คือ
1) ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการ
นำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกับ “ทั้งหมด” ได้ ได้แก่ “ทุก”
“ทุก ๆ” “แต่ละ” “ใด ๆ” ฯลฯ เช่น คนทุกคนต้องตาย, คนทุก ๆ คนต้องตาย,
คนแต่ละคนต้องตาย, ใคร ๆ ก็ต้องตาย
2) ตัวบ่งปริมาณ “บาง” หมายถึงบางส่วนหรือบางสิ่งบางอย่างที่ต้องการ
พิจารณา ในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่
“บางอย่าง” “มีอย่างน้อยหนึ่ง” เช่น สัตว์มีกระดูกสันหลังบางชนิดออกลูกเป็น
ไข่, มีสัตว์มีกระดูกสันหลังอย่างน้อยหนึ่งชนิดที่ออกลูกเป็นไข่
ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences)
ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement)มีประโยชน์มากสำหรับการหาข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วการสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยากมากหากไม่อาศัยทฤษฎี ตรรกะสมมูลในการกล่าวอ้าง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้างอิงต่อไป
กำหนดให้ p , q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทนความขัดแย้ง
- กฎการสลับที่ (Commutative laws)
p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p - กฎการเปลี่ยนหมู่ (Associative laws)
(p ^ q)^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r) - กฎการแจกแจง (Distributive laws)
p ^ (q v r)= (p ^ q) v ( p ^ r) ,
p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r) - กฎเอกลักษณ์ (Identity laws)
p v t = t , p ^ t = p - กฎนิเสธ (Negative laws)
p v ~p = t , p ^ ~ p = c
6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negative laws)
~(~p) = p
- กฎนิจพล (Idempotent laws)
p ^p = p , p = p - กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
~(p ^q)= ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q - กฎการจำกัดขอบข่าย (Universal bound laws)
p v t = t , p ^ c = c - กฎการซึมซับ (Absorption laws)
p v (p ^ q)= p , p ^ (p v q) = p - นิเสธของc และ t
~t = c , ~c=t
เราจะกำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิดใดๆ
เราสามารถทำประโยคเปิดให้เป็น “ประพจน์” ได้ 2 วิธี คือ
1. นำสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ แทนค่าตัวแปรลงไป
เช่น x มากกว่า 3 โดยเอกภพสัมพัทธ์ คือ จำนวนเต็ม
จะเห็นว่า ถ้าเราให้ x เท่ากับ 2 (ซึ่ง 2 เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์) เราจะได้ว่า ประโยค 2 มากกว่า 3 เป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคดังกล่าวจึงเป็นประพจน์
2.) เติม “ตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีอยู่ 2 ชนิด คือ
2.1) ∀x (อ่านว่า for all x) ใช้แทนคำว่า “สำหรับ x ทุกตัว” คำที่มีความหมายเดียวกับ ∀x ที่เราเห็นกันบ่อยๆ เช่น สำหรับ x ใดๆ, สำหรับ x แต่ละตัว
2.2) ∃x (อ่านว่า for some x)ใช้แทนคำว่า “มี x บางตัว” คำที่เรามักเจอและมีความหมายเหมือน ∃x เช่น มี x อย่างน้อย 1 ตัว
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
เมื่อเราเติมนิเสธลงไปในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ข้อความต่อไปนี้จะสมมูลกัน
กรณี 1 ตัวแปร
∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)]
∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)]
กรณี 2 ตัวแปร
∼[∀x∃x [P(x, y)]] ≡ ∃x∀x[∼P(x, y)]
∼[∃x∀x[P(x, y)]] ≡ ∀x∃x [∼P(x, y)]
∼[∃x∃x[P(x, y)]] ≡ ∀x∀x [∼P(x, y)]
∼[∀x∀x [P(x, y)]] ≡ ∃x∃x[∼P(x, y)]
