ตรรกศาสตร์-ความหมายของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์-ด้วยการให้เหตุผลแบบอุปนัย

ความหมายของการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์  หมายถึง  กระบวนการการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องอาศัยการคิดวิเคราะห์และ /  หรือความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ในการรวบรวมข้อเท็จจริง/ข้อความ/แนวคิด/สถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ต่างๆ แจกแจงความสัมพันธ์ หรือการเชื่อมโยง  เพื่อทำให้เกิดข้อเท็จจริงหรือสถานการณ์ใหม่

รูปแบบของการให้เหตุผล

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย  เป็นกระบวนการที่ใช้การสังเกตหรือการทดลองหลายๆครั้งแล้วรวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะนำไปสู่ข้อสรุปซึ่งเชื่อว่า น่าจะถูกต้อง น่าจะเป็นจริง  มีความเป็นไปได้มากที่สุดแต่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริงและยังไม่พบข้อขัดแย้ง เรียกข้อสรุปนั้นว่า ข้อความคาดการณ์

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆ ตัวอย่างมาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือคำพยากรณ์ ซึ่งจะเห็นว่าการจะนำเอาข้อสังเกต หรือผลการทดลองจากบางหน่วยมาสนับสนุนให้ได้ข้อตกลง หรือข้อความทั่วไปซึ่งกินความถึงทุกหน่วย ย่อมไม่สมเหตุสมผล เพราะเป็นการอนุมานเกินสิ่งที่กำหนดให้ ซึ่งหมายความว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยจะต้องมีกฎของความสมเหตุสมผลเฉพาะของตนเอง นั่นคือ จะต้องมีข้อสังเกต หรือผลการทดลอง หรือมีประสบการณ์ที่มากมายพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่ เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าการให้เหตุผลแบบนิรนัยจะให้ความแน่นอน แต่การให้เหตุผลแบบอุปนัย จะให้ความน่าจะเป็น

            ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย  เช่น  เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่เราจึงอนุมานว่า “ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่”  ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะข้อสังเกต  หรือตัวอย่างที่พบยังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น         

โดยทั่วไปการให้เหตุผลแบบอุปนัยนี้ มักนิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่างๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุปที่ว่า สารสกัดจากสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้ ซึ่งข้อสรุปดังกล่าวมาจากการทำการทดลอง ซ้ำๆ กันหลายๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองที่ตรงกันหรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย ในการสร้างสัจพจน์ เช่น  เมื่อเราทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน เราก็พบว่าเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพียงจุดๆ เดียวเท่านั้น ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม เราก็อนุมานว่า “เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดๆ เดียวเท่านั้น” 
            หรืออาจกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัย เกิดจากการที่มีสมมติฐานกรณีเฉพาะ หรือเหตุย่อยหลายๆ เหตุ เหตุย่อยแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน มีความสำคัญเท่าๆ กัน และเหตุทั้งหลายเหล่านี้ไม่มีเหตุใดเหตุหนึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นสมมติฐานกรณีทั่วไป หรือกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยคือการนำเหตุย่อยๆ แต่ละเหตุมารวมกัน เพื่อนำไปสู่ผลสรุปเป็นกรณีทั่วไป เช่น

 

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

            1. สุนทรี พบว่า ทุกครั้งที่คุณแม่ไปซื้อก๋วยเตี๋ยวผัดไทยจะมีต้นกุยช่ายมาด้วยทุกครั้ง

จึงสรุปว่า ก๋วยเตี๋ยวผัดไทยต้องมีต้นกุยช่าย

            2. ชาวสวนมะม่วงสังเกตมาหลายปีพบว่า ถ้าปีใดมีหมอกมาก ปีนั้นจะได้ผลผลิตน้อย เขาจึงสรุปว่าหมอกเป็นสาเหตุที่ทำให้ผลผลิตน้อย ต่อมามีชาวสวนหลายคนทดลองฉีดน้ำล้างช่อมะม่วง เมื่อมีหมอกมากๆ พบว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้น

            จึงสรุปว่า การล้างช่อมะม่วงตอนมีหมอกมากๆ จะทำให้ได้ผลผลิตมากขึ้น

            3. นายสมบัติ พบว่า ทุกครั้งที่ทำความดีจะมีความสบายใจ

            จึงสรุปว่า การทำความดีจะทำให้เกิดความสบายใจ

            4. ทุกเช้าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกและตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก  

จึงสรุปว่า  พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวันตก

            5. ในการศึกษาลักษณะของสิ่งมีชีวิต ดังต่อไปนี้

เหตุ      1) คนทุกคนต้องหายใจ

                                    2) นกทุกตัวต้องหายใจ

                                    3) แมวทุกตัวต้องหายใจ

                                    4) เต่าทุกตัวต้องหายใจ

                                    5) เสือทุกตัวต้องหายใจ

จึงสรุปว่า สัตว์ทุกชนิดต้องหายใจ

6. จากการสังเกตต่อไปนี้

เหตุ

1)สมชายเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

            2) สมหมายเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

            3) สมปองเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

            4) สมหวังเป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

จึงสรุปว่า คนทุกคนที่เป็นไข้หวัดใหญ่ถ้ากินฟ้าทะลายโจร แล้วจะหายจากการเป็นไข้หวัดใหญ่

7. ในการทดลองชิมส้มในตะกร้าของพ่อค้า

เหตุ      1)ลูกที่ 1รสชาติหวาน

                        2) ลูกที่ 2 รสชาติหวาน

                        3) ลูกที่ 3 รสชาติหวาน

จึงสรุปว่า ส้มที่อยู่ในตะกร้าเป็นส้มที่มีรสหวาน

 

8. เหตุ

1) การสอบย่อยครั้งที่ 1 วีณาสอบตก

2) การสอบย่อยครั้งที่ 2 วีณาสอบตก

3) การสอบกลางภาค วีณาสอบตก

จึงสรุปว่า การสอบปลายภาค วีณาสอบตก

 

จากเหตุที่กำหนด ผลสรุปอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้ เนื่องจากผลสรุปการสอบปลายภาคเป็นการคาดคะเนจากผลสอบครั้งที่ผ่านๆ มา ซึ่งนำมาสรุปไม่ได้ เพราะการสอบปลายภาค วีณาอาจขยันมากขึ้น

 

9. เหตุ

1) มานพใส่แว่นตา เขาเป็นคนขยันเรียน

2) สุรีย์ใส่แว่นตา เธอเป็นคนขยันเรียน

จึงสรุปว่า  มานะใส่แว่นตา เขาเป็นคนขยันเรียน

 

            จากเหตุที่กำหนดให้  ผลสรุปอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้ เนื่องจากผลสรุปเป็นการคาดคะเนว่าคนใส่แว่นน่าจะเกิดจากการใช้สายตาอ่านหนังสือมาก แต่ความจริงมานะอาจมีปัญหาเรื่องสายตาอยู่แล้วก็ได้

 

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยทางคณิตศาสตร์

–จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยสรุปผลเกี่ยวกับผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวน

0+2   =  2      (จำนวนคู่)

2+4   =  6      (จำนวนคู่)

4+6   =  10    (จำนวนคู่)

6+8   =  14    (จำนวนคู่)

8+10   = 18   (จำนวนคู่)

สรุปผลว่า ผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

 

ข้อสังเกตและปัญหาของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1. การสรุปผลที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้ง ผลสรุปดังกล่าวอาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป เช่นจากการพบไข่มุกหลาย ๆ ครั้ง ปรากฏว่าไข่มุกที่พบนั้นมีสีขาว จึงสรุปว่าไข่มุกมีสีขาว ซึ่งการสรุปผลนี้ไม่เป็นจริงเพรามีไข่มุกบางชนิดมีสีชมพูหรือสีเทา

2. การสรุปผลโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นบางครั้งผลสรุปของแต่ละคนอาจจะไม่เหมือนกัน เพราะผลที่ได้จากการสังเกตต้องขึ้นกับพื้นฐานและประสบการณ์ของผู้สังเกตแต่ละคน เช่น จงพิจารณาการเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

2, 4, 6, …       จงหาจำนวนที่เรียงต่อจาก 6 มา 2 จำนวน

คนที่หนึ่ง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่าเป็นการเรียงของจำนวนคู่ ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไปคือ 8, 10

คนที่สอง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่า สองจำนวนหน้าบวกกันจะได้จำนวนถัดไป เช่น 6 ได้มาจาก 2+4

แสดงว่า จำนวนที่ถัดจาก 6 ไป คือ   4+6   = 10

แสดงว่า จำนวนที่ถัดจาก 10 ไป คือ   6+10 = 16

ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไป คือ 10, 16

คนที่สาม สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่า จำนวนถัดไปต้องเกิดจาก 2 จำนวนหน้าคูณกันแล้วลบด้วย 2

เช่น  6 เกิดจาก  

แสดงว่า  จำนวนที่ถัดจาก 6 ไป           คือ 22

แสดงว่า  จำนวนที่ถัดจาก 22 ไป         คือ 130

ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไป คือ 22, 130 เป็นต้น

 

ตัวอย่างที่ 2

กรณีที่ 1

ถ้าพิจารณาว่า  , ,

สามพจน์ถัดไปจะเป็น , ,

ดังนั้น สามพจน์ถัดไปคือ 8 , 16 , 32

กรณีที่ 2

ถ้าพิจารณาว่า 1 , 2 , 4 มีลักษณะการเพิ่มทีละ 1 , 2 ดังนั้นการเพิ่มจะเป็น 3 , 4 , 5

                 1     2     4     

ดังนั้น สามพจน์ถัดไปคือ 7 , 11 , 16

 

ตัวอย่างที่ 3

ถ้าผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักของจำนวนนับใดๆ หารด้วย 3 ลงตัวแล้ว

จงหาข้อสรุปเกี่ยวกับจำนวนนับดังกล่าวโดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย

วิธีทำ  พิจารณาจำนวนนับที่มีผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักหารด้วย 3 ลงตัว

จำนวนนับ	ผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลัก	ผลหารของจำนวนนับด้วย3
111	1+1+1   =     3	111 3      =      37
123	1+2+3   =     6	123 3      =      41
171	1+7+1   =     9	171 3      =      57
543	5+4+3   =   12	543 3      =    181
2,943	2+9+4+6  =   18	2,943 3     =     981
9,873	9+8+7+3  =   27	9,873  3     =  3,291
5,220	5+2+2+0  =     9	5,220 3     =  1,740

สรุปการให้เหตุผลแบบนิรนัย  ประกอบด้วยส่วนสำคัญ  2  ส่วน  คือ 

1) เหตุหรือสมมติฐาน  ซึ่งหมายถึง  สิ่งที่เป็นจริงหรือยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง

พิสูจน์  ได้แก่  คำอนิยาม  บทนิยาม  สัจพจน์  ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว  กฎหรือสมบัติต่างๆ

2)  ผลหรือผลสรุป  ซึ่งหมายถึง  ข้อสรุปที่ได้จากเหตุหรือสมมติฐาน

ในทางคณิตศาสตร์  การให้เหตุผลแบบนิรนัย  ประกอบด้วย

     1.คำอนิยาม  หมายถึง  คำที่เราไม่ให้ความหมายหรือให้ความหมายไม่ได้  แต่เข้าใจ

     ความหมายได้  โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์  ความคุ้นเคย  หรือสมบัติที่เข้าใจตรงกันเช่น  กำหนดให้คำว่า  จุด  เส้น  และระนาบ  เป็นคำอนิยามในเรขาคณิตแบบยุคลิด

     2.บทนิยาม  หมายถึง  ข้อความแสดงความหมายหรือคำจำกัดความของคำที่

      ต้องการ  โดยอาศัยคำอนิยาม  บทนิยามหรือสมบัติต่างๆที่เคยทราบมาแล้ว  เช่น  กำหนดบทนิยามว่า  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ  รูปที่มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน  และมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก

     3.สัจพจน์  หมายถึง  ข้อความที่เรายอมรับหรือตกลงว่าเป็นจริงโดยไม่ต้อง

     พิสูจน์  เช่น  กำหนดให้ข้อความว่า  ระหว่างจุดสองจุดใดๆจะมีส่วนของเส้นตรงเชื่อม  เป็นสัจพจน์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด

     4.ทฤษฎีบท  หมายถึง  ข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงซึ่งในการพิสูจน์อาจ

     ใช้บทนิยาม  สัจพจน์  หรือทฤษฎีบทอื่นๆที่ได้พิสูจน์ไว้ก่อนแล้ว  มาอ้างอิงในการพิสูจน์  ข้อความที่เป็นทฤษฎีบทควรเป็นข้อความที่สำคัญ  มักนำไปอ้างอิงในการพิสูจน์ข้อความอื่นๆหรือนำไปใช้แก้ปัญหาต่อไป