สมบัติของจำนวนจริง
เนื่องจากว่า สมบัติของจำนวนจริงในที่นี้จะนำเสนอเฉพาะที่คิดว่าสำคัญในทฤษฎีจำนวน (Number theory)
ถ้าให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว จะได้ว่าจำนวนจริงจะมีสมบัติดังต่อไปนี้
1. สมบัติปิดการบวก: a+ b จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ
2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยที่เราเรียก 0 ว่าเอกลักษณ์ของการบวก
4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยที่ (-a) เป็นอินเวอร์สการบวกของ a
5. สมบัติปิดของการคูณ: a คูณ b หรือ ab จะต้องมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเสมอ
6. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ: a(bc) = (ab) c
7. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยที่เราเรียก 1 ว่าเอกลักษณ์ของการคูณ
8. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ: a a-1 = 0 = a-1 a โดยที่ a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณของ a
9. สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: a(b + c) = ab + ac
นอกจากสมบัติของจำนวนจริงแล้ว เรายังมีทฤษฎีบทเบื้องต้นสำหรับจำนวนจริงด้วย ในทำนองเดียวกับสมบัติของจำนวนจริง จะขอนำเสนอเฉพาะส่วนที่คิดว่าสำคัญเท่านั้นนะครับ
ถ้าให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า
1. ถ้า a+c = b+c แล้ว a = b
2. ถ้า c ไม่เท่ากับศูนย์ และ ac =ab แล้ว a = b
3. เมื่อ c > 0 แล้วจะได้ว่า
(1) ถ้า a > b แล้ว ac > bc
(2) ถ้า a < b แล้ว ac < bc
(3) ถ้า ac > bc แล้ว a > b
(4) ถ้า ac < bc แล้ว a < b
4. เมื่อ c < 0 แล้วจะได้ว่า
(1) ถ้า a > b แล้ว ac < bc
(2) ถ้า a < b แล้ว ac > bc
(3) ถ้า ac > bc แล้ว a < b
(4) ถ้า ac < bc แล้ว a > b
5. ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
6. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c.
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ | |
ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก |
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | |
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b | |
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c | |
ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ |
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | |
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b | |
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c | |
ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
a · 0 = 0 | |
0 · a = 0 | |
ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
(-1)a = -a | |
a(-1) = -a | |
ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 | |
ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
a(-b) = -ab | |
(-a)b = -ab | |
(-a)(-b) = ab | |
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |