บทที่ 1 เซต

• ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเซต
• แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
• การดำเนินการระหว่างเซต
• คุณสมบัติของการดำเนินการระหว่างเซต
• การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

1. เซต เป็นคำที่ใช้บ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้ว สามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มและสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น เซต ของสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุ่มของอักษร a, e, i, o และ u เซต ของจำนวนนับที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มของตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 สิ่งที่อยู่ในเซต เรียกว่า สมาชิก (element หรือ members)

2. การเขียนเซต การเขียนเซตอาจเขียนได้สองแบบ คือ

2.1 การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular From) โดยเขียน สมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา และใช้เครื่องหมาย จุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1, 2, 3, 4, 5, 6} เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียน แทนด้วย {ก, ข, ฃ, ค, ฅ} เซตของจำนวนคู่ตั้งแต่ 2 ถึง 10 เขียนแทนด้วย {2, 4, 6, 8, 10}

2.2 เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข (Builder Form) ใช้ตัวแปรเขียนแทน สมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่อยู่ในรูปของตัวแปร เช่น {x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระใน ภาษาอังกฤษ {x | x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปีเครื่องหมาย “ | ” แทนคำ ว่า โดยที่ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุดสามจุด ( . . . ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่น ๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่อยู่ใน เซต เช่น {1, 2, 3, . . ., 10} สัญลักษณ์ . . . แสดงว่ามี 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เป็นสมาชิกของเซต {วันจันทร์, อังคาร, พุธ, . . ., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ . . . แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็นสมาชิกของเซต

3. สัญลักษณ์แทนเซต ในการเขียนเซตโดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษร ภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัว พิมพ์เล็ก เช่น a, b, c เช่น A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถึง A เป็น เซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก

4. สมาชิกของเซต จะใช้สัญลักษณ์ “ Î ” แทนคำว่าเป็นสมาชิกหรืออยู่ใน เช่น A = {1, 2, 3, 4} จะได้ว่า 1 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 1 Î A 3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยู่ใน A เขียนแทนด้วย 3 Î A คำว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” หรือ “ไม่อยู่ใน” เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ “ Ï ” เช่น 5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทน ด้วย 5 Ï A 7 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรือไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย 7 Ï A สำหรับเซต A ซึ่งมีสมาชิก 4 ตัว เราจะใช้ n(A) เพื่อบอกจำนวน สมาชิกของเซต A นั่นคือ n(A) = 4

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

            แผนภาพออยเลอร์(Eulerdiagram)เป็นแผนภาพที่ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ของเซตต่างๆโดยให้วงกลมแต่ละวงแทนแต่ละเซตและแสดงความสัมพันธ์ของแต่ละเซตด้วยการครอบซึ่งแสดงความเป็นสับเซตการทับซ้อนกันหรือการไม่ทับซ้อนกันซึ่งแสดงว่าทั้งสองเซตไม่มีความสัมพันธ์กัน ลักษณะแผนภาพวงกลมเช่นนี้เชื่อว่าถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสนามว่าเลออนฮาร์ดออยเลอร์แผนภาพออยเลอร์นั้นมียังลักษณะคล้าย คลึงกันกับแผนภาพเวนน์มากในทฤษฎีเซตซึ่งเป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงนิยมใช้แผนภาพประยุกต์จากแผนภาพทั้งสองในการอธิบายเซตต่าง ๆ ให้เข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น แผนภาพเวนน์–ออยเลอร์เป็นแผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของเซตต่าง ๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวนน์ และ เลโอนาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์

            การเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซตย่อยของ Uอาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆโดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

การพิจารณาเกี่ยวกับเซตจะง่ายขึ้น ถ้าเราใช้แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ เข้ามาช่วย หลักการเขียนแผนภาพมีดังนี้

       1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์

       2. ใช้วงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่าง ๆ ที่เป็นสมาชิกของ  และเขียนภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ถ้ากำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5} , C = {3,5,6,7}

เราจะเขียนแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ แสดงเอกภพสัมพัทธ์ U และเซตย่อยต่าง ๆ ดังแผนภาพต่อไปนี้

การใช้แผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

เราจะวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กหนด แสดงว่าสมเหตุสมผล ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผล โดยจะใช้การอ้างเหตุผลโดยตรรกบทของตรรกศาสตร์เข้ามาตรวจสอบ

ในการใช้แผนภาพเพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผล จะต้องวาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุกกรณีที่เป็นไปได้ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จะได้ว่าข้อสรุปนั้น สมเหตุสมผล แต่ถ้ามีบางกรณีที่ไม่สอดคล้องกับผลสรุปแล้ว ผลสรุปนั้นจะไม่สมเหตุผมผล …

ภาพจาก Mayitutoryou

มาดูแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์  เป็นแผนภาพที่ใช้แสดงความเกี่ยวข้องของเซต  เพื่อช่วยในการคิดคำนวณหรือแก้ปัญหา  ซึ่งตัวชื่อแผนภาพตามชื่อของนักคณิตศาสตร์คือ  เวนน์และออยเลอร์  การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์  มีวิธีการเขียนดังนี้

ให้    เอกภพสัมพทธ์   U   แทนด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใด ๆ

เซต  A, B, C, . . .   ซึ่งเป็นสับเซตของ  U  แทนด้วยวงกลม  วงรี  หรือรูปปิดอื่น ๆ  โดยให้เซต  A, B, C, . . .  อยู่ใน  U   ดังตัวอย่าง

ตัวอย่างที่  1        กำหนด   U  =  {1, 2, 3, . . .} ,  A  =  {1, 2, 3, 4, 5}  และ  B  =  {2, 4, 6, 8}

จงเขียนแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์แทนเซต

วิธีทำ         เซต A  และเซต  B  มีสมาชิกร่วมกันคือ  2  และ  4  ซึ่งสามารถเขียนแผนภาพ

แทนเซต  A  และ  B   ได้ดังนี้

ตัวอย่างที่  2   กำหนด   U  =  {a, b, c, . . . , z}  ,   A  =  {a, b, c, d}  ,  B  =  {e, f, g}

และ   C  =  {h, i, j, k}   จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

สมบัติการดำเนินการบนเซต(Set Property ) ของเซต ม.4

สมบัติการดำเนินการบนเซต
สมบัติพื้นฐาน
1. A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A
2. A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. (A’)’ = A
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
5. A – B = A ∩ B’
ถ้า A ⊂ B เเล้ว 1. A – B = ∅
2. A ∩ B = A
3. A ∪ B = B
การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
1. เซตจำกัด 2 เซต
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n[(A – B) ∪ (B – A)] = n(A) + n(B) – 2[n(A ∩ B)]
2. เซตจำกัด 3 เซต
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C)
+ n(A ∩ B ∩ C)

เซตกับการแก้โจทย์ปัญหา
สาระสำคัญ

วิธีการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด สามารถหาได้ 2 วิธี คือ

1. การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คือ การพิจารณาส่วนประกอบต่างๆของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และระบุจำนวนสมาชิกในแต่ละบริเวณ

2. การใช้สูตร

· A และ B เป็นเซตจำกัด จำนวนสมาชิกของเซต AυB หรือ n(AυB) จะหาได้จาก

และในกรณีที่ A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย คือ A∩B = Ø

ถ้า  A, BและC เป็นเซตจำกัดจำนวนสมาชิกของเซต AυBυC หรือ n(AυBυC) จะหาได้จาก

ขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต มี 5 ขั้นตอนดังนี้

1. การทำความเข้าใจโจทย์ปัญหาว่าสิ่งที่โจทย์กำหนดให้มีอะไรบ้าง สิ่งที่โจทย์ต้องการทราบคืออะไร

2. วิเคราะห์โจทย์ปัญหา กำหนดเซตและความสัมพันธ์ของเซตพร้อมระบุจำนวนสมาชิก

3. วางแผนแก้ปัญหา โดยวิธีการใช้สูตร หรือการใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

4. ดำเนินการแก้ปัญหา

5. ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคำตอบ

• โจทย์แบบฝึกหัดเพิ่มเติม