พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra)
3.1 พื้นฐานของพีชคณิตบูลีน
3.2 พืชคณิตบูลีนและการลดรูปวงจรลอจิก
พืชคณิตบูลีน คือ ระบบของคณิตศาสตร์ทางลอจิก ซึ่งประกอบด้วยกฎพื้นฐานต่าง ๆ ดังนี้
3.2.1 กฎของ OR ซึ่งมี 4 ข้อคังนี้
กฎข้อที่ 1 A+O = A
กฎข้อที่ 2 A+1 = 1
กฎข้อที่ 3 A+A = A
3.2.2 กฎของ AND มี4ข้อดังนี้ คือ
กฎข้อที่ 4 A+ A = 1
กฎข้อที่5 A.0 = 0
กฎข้อที่6 A.1 = A
กฎข้อที่7 AA = A
3.2.3 กฎของการคอมพลีเมนท์ (Laws of Complementation)
กฎข้อที่ 8 AT = O
กฎของการคอมพลีเมนท์มีคังต่อไปนี้
กฎข้อที่ 9 0= 1
กฎข้อที่ 10. 1= 0
กฎข้อที่ 11 ถ้าA = 0 แล้ว A จะเท่ากับ 1
กฎข้อที่ 12 A = 1 แล้วAจะเท่ากับ0
3.2.4 กฎของการสลับที่ (Commutative Laws)
กฎข้อที่ 13 A =A
กฎนี้เป็นกฎการสลับที่ของ AND GATE และ OR GATE ซึ่งมีดังนี้คือ
กฎข้อที่ 14 A+B= B+A
3.2.5 กฎการจัดกลุ่ม (Associative Laws)
กฎข้อที่ 15 A.B = B.A
กฏการจัดกลุ่มเป็นกฎที่ใช้ในการจัดกลุ่มของตัวแปรไหม่ ซึ่งมึกฎต่าง ๆ ดังนี้คือ
กฎข้อที่ 16 A+(B+c)
= (A+B)+C
กฎข้อที่ 17 (A+B)+(C+D) = A+B+C+D
กฎข้อที่ 18 A.(B.C)
= (A.B).C
3.2.6 กฎการกระจาย (Distributive Laws)
กฏการกระจายมีดังต่อไปนี้คือ
กฎข้อที่19 A(B+C)
= AB + AC
กฎข้อที่ 20 A +Bc
= (A +B) (A +C)
กฎข้อที่21 A+A.B
= A+B
3.2.7 กฎการลดทอน (Absorptive Laws)
กฎนี้จะช่วยให้สามารถลดการแสดงทางลอจิกที่ชับซ้อนให้อยู่ในรูปแบบ
อย่างง่ายโคขลดทอนบางเทอมจากที่มีอยู่เดิม ซึ่งมีกฎต่าง ๆ ดังนี้
กฎข้อที่ 22 A +AB
กฎข้อที่ 23 A.(A+B) = A
กฎข้อที่ 24 A.(A+B) = AB
ตัวอย่างที่ 3.1 ให้พิสูจน์ว่าสมการบูน AB + ABC = AB เป็นจริง
วิธีทำ
F = AB + ABC
= AB(1+C)
= AB. 1
.. F = AB
: กฎข้อที่ 2
.. AB + ABC = AB เป็นจริง
: กฎข้อที่ 6
ตัวอย่างที่ 3:2 ให้พิสูจน์ว่า (A +B) (A +C) +BC =A +BC
วิธีทำ
F = (A +B)(A +C) +BC
= AA + AC + AB + BC + BC
= A + AC + AB + BC + BC
= A (1+ B)+ AC + BC (1+ BC )
: กฎข้อที่ 19
= A + AC + BC
