จำนวนจริง

          จำนวนจริง ( Real  Numbers ) ประกอบด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ

               1) จำนวนตรรกยะ (Rational  Numbers) คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้เมื่อเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม  และ “ส่วนมีค่าไม่เท่ากับ 0 ”  ได้แก่ จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำ

               1.1) จำนวนเต็ม  (Integer Numbers) คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วน และทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น ประกอบด้วย

                              1.1.1) จำนวนเต็มบวก ( I+ )หรือจำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆ โดยที่ไม่สามารถระบุได้     ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่ 1 , 2 , 3, … ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1                               จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้

                              1.1.2) จำนวนเต็มศูนย์  สมาชิกมีเพียงจำนวนเดียวคือ 0 ศูนย์เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็น  จำนวนนับจาก

            หลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ์ “0” ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ “0” แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการ

            กล่าวถึงแต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่าง เช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

                             1.1.3) จำนวนเต็มลบ ( I-) คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่ง อยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้น                      จำนวนและจะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1

                      สรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

                                1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวนก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือ  ของศูนย์

                                2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1

                                3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้น จำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลงกล่าวคือ …-5 < -4 < -3  < -2 < -1                        

                             1.2) เศษส่วน หมายถึง ส่วนหนึ่งๆ ของจำนวนทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นส่วนๆ เท่าๆ กัน เช่น     เป็นต้น

                             1.3) ทศนิยมซำ้ คือ การหารเศษส่วนที่ไม่ลงตัวจะ

ทศนิยมซ้ำ

ประเภทของทศนิยมมี 2 ประเภท คือ ทศนิยมซ้ำ กับ ทศนิยมไม่ซ้ำ (ในที่นี้จะกล่าวถึงแต่ทศนิยมซ้ำ)

ทศนิยมซ้ำแบ่งเป็น 2 แบบ ดังนี้

1. ทศนิยมซ้ำแบบรู้จบ คือ รู้แน่นอนว่าตัวไหนซ้ำและซ้ำกี่ตัว เช่น  2.1, 3.5, 5.75, 8.125 เป็นต้น

2. ทศนิยมซ้ำแบบไม่รู้จบ คือ รู้แน่นอนว่าตัวไหนซ้ำ แต่ไม่รู้ว่าซ้ำกี่ตัว เช่น 1.1212…, 0.345345…, 3.111…, 4.52121… เป็นต้น

ซ้ำกันไปเรื่อย ๆอาจจะซ้ำตำแหน่งเดียว สองตำแหน่งหรือ

                                     สามตำแหน่ง  ซึ่งเราเรียก ทศนิยมนี้ว่า  ทศนิยมซ้ำ 

                  2) จำนวนอตรรกยะ (Irrational  number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำ หรือเศษส่วน เมื่อ  a , b เป็นจำนวนเต็ม  b   และสามารถกำหนดค่าประมาณได้  เช่น       

                                                            π = 3.14159265…       มีค่าประมาณ 3.142

    ทศนิยมที่ไม่ใช่ทศนิยมซ้ำ เช่น 0.1010010001…,6.808808880…,1.2345678910111213…, เป็นต้น

                             ข้อควรรู้ 

                                1. ถ้าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะ แล้วจำนวนตรงข้ามกับจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนอตรรกยะด้วย เช่น เป็น                                  จำนวนอตรรกยะ จะได้ว่าจำนวนตรงข้ามของ คือ –  เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน ,π เป็นจำนวนอตรรกยะ จะ

                              ได้ว่าจำนวนตรงข้ามของ π  คือ –π  เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยเช่นกัน

                               2. จำนวนอตรรกยะ มีสมบัติปิดสำหรับการบวก นั่นคือถ้านำจำนวนอตรรกยะมาบวกกัน ค่าทีได้จากการบวก

                              จะเป็นจำนวนอตรรกยะเหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น   π+π = 2π ซึ่ง 2π  เป็นจำนวนอตรรกยะ    

​

สมบัติของจำนวนจริง 

เนื่องจากว่า สมบัติของจำนวนจริงมีเยอะมาก ในที่นี้จะนำเสนอเฉพาะที่คิดว่าสำคัญแล้วกันนะครับ

ถ้าให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว จะได้ว่าจำนวนจริงจะมีสมบัติดังต่อไปนี้

1. สมบัติปิดการบวก: a+ b จะต้องเป็นจำนวนจริงเสมอ

2. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการบวก: a + (b + c) = (a + b) + c

3. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก: a + 0 = a = 0 + a โดยที่เราเรียก 0 ว่าเอกลักษณ์ของการบวก

4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก: a + (-a) = 0 = (-a) + a โดยที่ (-a) เป็นอินเวอร์สการบวกของ a

5. สมบัติปิดของการคูณ: a คูณ b หรือ ab จะต้องมีผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงเสมอ

6. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ: a(bc) = (ab) c

7. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ: a x 1 = a = 1 x a โดยที่เราเรียก 1 ว่าเอกลักษณ์ของการคูณ

8. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ: a a-1 = 0 = a-1 a โดยที่ a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณของ a

9. สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: a(b + c) = ab + ac

นอกจากสมบัติของจำนวนจริงแล้ว เรายังมีทฤษฎีบทเบื้องต้นสำหรับจำนวนจริงด้วย ในทำนองเดียวกับสมบัติของจำนวนจริง จะขอนำเสนอเฉพาะส่วนที่คิดว่าสำคัญเท่านั้นนะครับ

ถ้าให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า

1. ถ้า a+c = b+c แล้ว a = b

2. ถ้า c ไม่เท่ากับศูนย์ และ ac =ab แล้ว a = b

3. เมื่อ c > 0 แล้วจะได้ว่า

(1) ถ้า a > b แล้ว ac > bc

(2) ถ้า a < b แล้ว ac < bc

(3) ถ้า ac > bc แล้ว a > b

(4) ถ้า ac < bc แล้ว a < b

4. เมื่อ c < 0 แล้วจะได้ว่า

(1) ถ้า a > b แล้ว ac < bc

(2) ถ้า a < b แล้ว ac > bc

(3) ถ้า ac > bc แล้ว a < b

(4) ถ้า ac < bc แล้ว a > b

5. ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0

6. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a – d < b – c

สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก

ถ้า และ เป็นจำนวนจริงแล้วเช่น และ เป็นจำนวนจริงดังนั้น และ เป็นจำนวนจริงดังนั้น
ถ้า , และ เป็นจำนวนจริง
แล้ว เช่น เป็นจำนวนจริงดังนั้น และ เป็นจำนวนจริงดังนั้น
ในระบบจำนวนจริงมี เป็นเอกลักษณ์การบวก
สำหรับจำนวนจริง ใด ๆ
นั่นคือ เช่น เป็นจำนวนจริงดังนั้น

• สมบัติปิดของการบวก
  ถ้า และ เป็นจำนวนจริง แล้ว เป็นจำนวนจริง
  เช่น และ เป็นจำนวนจริงดังนั้น เป็นจำนวนจริงและ เป็นจำนวนจริงดังนั้น เป็นจำนวนจริง
• สมบัติการสลับที่ของการบวก
• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก
• เอกลักษณ์ของการบวก
• อินเวอร์สการบวก
  ในระบบจำนวนจริง ถ้า เป็นจำนวนจริงจะมีจำนวนจริงซึ่ง
  เช่น เป็นจำนวนจริง ใด ๆ

เป็นจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์คิดขึ้นเพื่อใช้นับจำนวนสัตว์เลี้ยง