ลําดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต ม.5

ตารางเปรียบเทียบสักษณะโจทย์ของลำตับเลขคณิต และลำดับเรขาคณิต
ลำดับเลขคณิต
ลำดับเรขาคณิต
สูตร
an - a1 + (n - 1)d
สูตร 
an =พจน์ทั่วไป
พจน์ทั่วไป
a1=พจน์แรก
a1=พจน์แรก
n = จำนวนพจน์, ชื่อพจน์
n = จำนวนพจน์, ชื่อพจน์
d = ผลต่างร่วม (d = ขวา - ซ้าย)
I = ผลต่างร่วม (I = ขวา/ซ้าย )

• ลำดับจำกัด คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด โดยฟังก์ชันจะเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n }
• ลำดับอนันต์ คือ ลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด โดยฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … }

ลำดับเลขคณิต
พิจารณาลำดับ 3, 7, 11, 15, 19, … จะเห็นว่าผลต่างของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมี
ค่าคงที่เท่ากับ 4 เช่น 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, 15 – 11 = 4, 19 – 15 = 4
ลำดับเลขคณิต เป็นลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนวก พจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่เรียกค่าคงที่
นี้ว่า ผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ “d”
ให้ a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นลำดับ ถ้า an+1 – an = d แล้ว a1, a2, a3, a4, a5 , … เป็นลำดับเลขคณิต

ลำดับ คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบใหญ่ ๆ คือ

ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n แล้วมีค่าคงที่เสมอ
และเรียกผลต่างที่มีค่าคงที่ว่า ผลต่างร่วม ( Common difference )
ถ้า a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว
จะได้ a₂ – a₁ = a₃– a₂ = … = a_n+1 – a_n เท่ากับ ค่าคงที่
เรียกค่าคงที่นี้ว่า “ ผลต่างร่วม ” (Common difference) เขียนแทนด้วย “ d ”
จากบทนิยาม     d  =a_n +1 – an
หรือ      a_n +1   = a_n + d
ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต
1.    ลำดับ 1, 3, 5, …, 99         เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 2
2.    ลำดับ 6, 3, 0, …, -27        เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ -3
3.    ลำดับ 5, 5, 5, …, 5           เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0
4.    ลำดับ 0, 0, 0, …, 0           เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม ( d ) เท่ากับ 0
จากตัวอย่างข้างต้น จะพบว่า d เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ ถ้า d = 0 จะได้ว่าทุกพจน์ของลำดับมีค่าเท่ากัน
และเรียกลำดับนี้ว่า “ลำดับคงตัว” เช่น ข้อ 3 และข้อ 4
การหาพจน์ต่าง ๆ ของลำดับเลขคณิต
กำหนดลำดับเลขคณิต a₁ , a₂ , a₃ , … ให้ a₁ เป็นพจน์แรกของลำดับ
และ d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่นๆ ของลำดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ดังนี้
a₁  =   a₁
a₂  = a₁   + d
a₃  =a₁   + 2d
a₄  =a₁   + 3d
.
.
.
a_n      =    a₁ + ( n – 1 )d
สรุป        พจน์ทั่วไปหรือพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต คือ
a_n =a₁ + ( n – 1 )d
มื่อ  a_n       คือ   พจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิ
a₁           คือ   พจน์ที่ 1 ของลำดับเลขคณิต
n            คือ   ตำแหน่งของพจน์ที่ n
d            คือ   ผลต่างร่วม (พจน์ที่ n+1 ลบด้วย พจน์ที่ n)

a_n = a₁r^n-1