สรุปจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน โดยจะสรุป ประเด็กสำคัญใน เรื่อง ส่วนจริง ส่วนจินตภาพ ในจำนวนเชิงซ้อน และ ความหมายของ i ในจำนวนเชิงซ้อน พร้อมตัวอย่างเสริมความเข้าใจ สั้นๆ เป็นแนวทางสำหรับน้องระดับ ม.5

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง  สมการพหุนามบางสมการ  เช่น  x  +  1 = 0  ไม่มีคำตอบเนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ  จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ  ในที่นี้เราจะศึกษาวิธีการสร้างระบบจำนวนชนิดใหม่  เพื่อให้หาคำตอบของสมการพหุนามทุกสมการได้เสมอ  และเรียกจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่าจำนวนเชิงซ้อน  ( complex  numbers)  ซึ้งนอกจากจะปัญหาในเรื่องของการมีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ  แล้ว  ยังสามารถประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่าง  ๆ  ทางด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์

1.1  การสร้างจำนวนเชิงซ้อน  (Construction Of Complex Numbers)                จากที่กล่าวข้างต้นว่า สมการพหุนาม  x  +  1 = 0  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงแต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ้งขยายระบบจำนวนจริงออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้  ดังนั้นจึงพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม  จำนวนเชิงซ้อน  คือ  คู่อันดับ (a,b)  เมื่อ  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน

การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน  ดังนี้
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  (a,b)  และ  (c,d)
1. การเท่ากัน
( a , b ) =  ( c , d )  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d
2. การบวก
( a , b ) + ( c , d )  =  ( a + c , b + d )
3  การคูณ

   ( a , b ) •  ( c , d )  =  ( ac – bd , ad + bc )
เราอาจเขียนแทน  ( a , c ) • ( c , d )  ด้วย  ( a , b )( c , d ) ก็ได้  เซตของจำนวนเชิงซ้อน

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  C

บทนิยาม

ให้ z = a + bi    = (a,b)  ,a , b R , i² = -1

และ w  = c + di   = (c,d) , c , d R ( รอเปลี่ยนเครื่องหมายสมาชิก )

1. การเท่ากัน

   z = w ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

2. การบวก

   z + w = (a+c) + (b+d)i

   = (a+c, b+d)

3. การคูณ

   zw = (ac – bd) + (ad + bc)i

   = (ac – bd, ad + bc)

ตัวอย่างที่ 1  จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (-1,2)  และ (3,-4)
วิธีทำ  (-1,2)+(3,-4)  =  (-1 +  3 , 2  –  4)
=  (2 ,  – 2)
(-1,2)(3,-4)      =  ((-1)3 – 2 (- 4), ( -1 )( -4 ) + 2 • 3)
     =  (-3 + 8,  4 +6)
=  (5, 10)
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป  ( x , 0 )  จะเห็นว่า
( a , 0 ) + ( b , 0 )       =  ( a + b , 0 )
( a , 0 )( b , 0 )           =  ( ab – 0 , a0 + 0b )  =  ( ab , 0 )

สมการพหุนาม

ถ้า p(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1  + a_n-2 x ^n-2 + ….+ a₁x + a₀
โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ a_n , a_n-1 , a_n-2 , ….. a₁, a₀ เป็นจำนวนจริงที่ a_n 0
แล้ว p(x) จะเป็นพหุนามดีกรี n (n มากกว่าหรือเท่ากับ 1)

ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต

ถ้า P(x) = 0 เป็นสมหารพหุนามดีกรี n (n มากกว่าหรือเท่ากับ1) แล้ว จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ

ทฤษฎีบท

ถ้า P(x) = 0 เป็นสมหารพหุนามดีกรี n (n มากกว่าหรือเท่ากับ 1) แล้ว จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ
(คำตอบอาจซ้ำกันได้)

ทฤษฎีบท

ถ้า P(x) = 0 เป็นสมหารพหุนามดีกรี n (n มากกว่าหรือเท่ากับ 1) และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคำตอบของสมการ
แล้ว z จะเป็นคำตอบของสมการด้วย

•  2x +1 = 0	เป็นสมการพหุนามดีกรี 1
• 2x2 –3 x + 1	เป็นสมการพหุนามดีกรี 2
• 3x3 + 2x2 +12x -8	เป็นสมการพหุนามดีกรี 3

ทบทวนการแก้สมการพหุนามอย่างง่าย

สามารถแยกตัวประกอบอย่างง่ายๆ ได้ เช่น ทำให้อยู่ในรูปผลต่างของกำลังสอง ผลบวกของกำลังสาม หรือ ผลต่างของกำลังสาม อันได้แก่สูตร