สรุปบทเรียนความน่าจะเป็น-แซมเปิลสเปซ(Sample Space)

แซมเปิลสเปซ(Sample Space)

แซมเปิลสเปซ(Sample Space)

แซมเปิลสเปซ(Sample Space) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มและเป็นสิ่งที่เราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ
จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตามผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น

ตัวอย่างที่ 1 การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายขึ้น
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คื หัว หรือ ก้อย
ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย}

ตัวอย่างที่ 2ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าที่หงายขึ้น
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6
ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}

ตัวอย่างที่ 3 จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก
1. จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า

วิธีทำ 1. เนื่องจากโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น
ดังนั้นเราต้องเขียนแต้มของลูกเต๋าที่มีโอกาสที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมดและเพื่อความสะดวกให้ (a,b) แทนผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น โดยที่
a แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกแรก
b แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกที่สอง

ดังนั้นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มคือ
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

2. เนื่องจากโจทย์สนใจผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า
ดังนั้นเราต้องเขียนผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ทั้งหมด
จะได้แซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก คือ{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

ตัวอย่างที่ 4 ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าเราหยิบลูกบอลออกจากกล่องมา 1 ลูก โดยวิธีสุ่ม
1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่จะเกิดขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาได้

วิธีทำ 1. เนื่องจากโจทย์สนใจสีของลูกบอลที่จะหยิบมาได้
ดังนั้นแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่หยิบได้คือ S= {สีแดง,สีขาว}
2. เนื่องจากโจทย์สนใจลูกบอลที่จะหยิบมาได้ ซึ่งมีทั้งหมด 3 ลูก
สมมติให้เป็น แดง1 แดง2 ขาว1 ดังนั้นแซมเปลิสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาคือS = {แดง1,แดง2, ขาว1}

เซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่มและเป็นสิ่งที่เราสนใจเรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ

จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น

ตัวอย่างที่ 1การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายขึ้นผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ หัว หรือ ก้อย
ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย}
ตัวอย่างที่ 2ในการทอดลูกเต๋า1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้นผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6
ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}
ตัวอย่างที่ 3จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก
1. จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า
วิธีทำ 1. เนื่องจากโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ดังนั้นเราต้องเขียนแต้มของลูกเต๋าที่มีโอกาสที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมด
และเพื่อความสะดวกให้ (a,b) แทนผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น โดยที่
a แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกแรก
b แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกที่สอง
ดังนั้นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มคือ
S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
2.เนื่องจากโจทย์สนใจผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า ดังนั้นเราต้องเขียนผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ทั้งหมด
จะได้แซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก คือ
{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
ตัวอย่างที่ 4ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าเราหยิบลูกบอลออกจากกล่องมา 1 ลูก โดยวิธีสุ่ม
1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่จะเกิดขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาได้
วิธีทำ 1.เนื่องจากโจทย์สนใจสีของลูกบอลที่จะหยิบมาได้ ดังนั้นแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่หยิบได้คือ
S={สีแดง,สีขาว}
2.เนื่องจากโจทย์สนใจลูกบอลที่จะหยิบมาได้ ซึ่งมีทั้งหมด 3 ลูก สมมติให้เป็น แดง1 แดง2 ขาว1
ดังนั้นแซมเปลิสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาคือ
S = {แดง1,แดง2, ขาว1}

เหตุการณ์ (Events)

คือ ผลลัพธ์ที่เราสนใจจากการทดลองสุ่ม นิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษ ตัวพิมพ์ใหญ่แทนเหตุการณ์ ตัวอย่าง เช่น

1. โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 2 ครั้งจงหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT
ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH
2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้งต้องการให้เกิดแต้มคู่
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ จากการทดลองสุ่ม มี 6 แบบ คือ 1, 2, 3, 4, 5 และ 6ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดแต้มคู่มี 3 แบบ คือ 2 , 4 และ 6
ตัวอย่างเหตุการณ์
1. ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง ต้องการหน้าหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง
ผลลัพธ์ของ เหตุการณ์ที่จะออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH
2. ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ต้องการให้เกิดแต้มคู่
ผลลัพธ์ ที่เกิดขึ้น คือ 2, 4, 6
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กำหนดให้ E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเดหตุการณ์
S แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
n(S) แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0

ตัวอย่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

1. การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อย อย่างน้อย 2 เหรียญ
ให้ H แทน หัว T แทน ก้อย การโยนเหรียญบาท 3 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมี 8 แบบ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT แต่บอกไม่ได้แน่นอนว่าเมื่อโยนเหรียญแล้วจะขึ้นหน้าใด ถ้าเหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น มี 4 แบบ คือ HTT, THT, TTH และ TTT ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ขึ้นหน้าก้อยอย่างน้อย 2 เหรียญ
2. การหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก 1 ครั้ง จากกล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง 4 ลูก สีขาว 4 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีส้ม 6 ลูก ปะปนกันอยู่ ด.ญ.สุรีย์พรสุ่มหยิบลูกปิงปองจากกล่องใบนี้ขึ้นมา 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกปิงปองสีส้ม
จากโจทย์ เราสามารถหาผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่ม หยิบลูกปิงปองทั้ง 5 สี จากกล่องใบนี้มา 1 ลูก คือ 4 + 4 + 3 + 3 + 6 = 20 ลูก ดังนั้นจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่ากับ 20 หรือ n(S) = 20
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ ด.ญ.สุรีย์พร สุ่มหยิบลูกปิงปอง 1 ลูก จากกล่องที่มีลูกปิงปอง สีส้ม 6 ลูก จะได้ n(E) = 6

ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ
จากการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นสามารถช่วยให้เรารู้ว่าเหตุการณ์ที่พิจารณา อยู่นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ความรู้ เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียว อาจไม่เพียงพอที่จะช่วยเราตัดสินใจได้ จำเป็นจะต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วย ซึ่งองค์ประกอบหนึ่ง คือ ผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น ในทางสถิติได้นำความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์ นั้น พิจารณาประกอบกันเป็นค่าคาดหมาย ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์
ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการให้เกิดขึ้น) +
(ผลตอบแทนที่เสีย X ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ต้องการให้เกิดขึ้น)
โดยผลตอบแทนของเหตุการณ์อาจหมายถึง ผลตอบแทนที่ได้หรือผลตอบแทนที่เสีย เช่น ในการโยนเหรียญหัว ก้อย ถ้าออกหัวผู้เล่นจะได้เงิน 2 บาท แต่ถ้าออกก้อยผู้เล่นจะต้องเสียเงิน 3 บาท แสดงว่า เงิน 2 บาทที่ผู้เล่นจะได้รับเป็นผลตอบแทนที่ได้ แทนด้วย +2 และเงิน 3 บาทที่ผู้เล่นจะต้องเสียเป็นผลตอบแทนที่เสียซึ่งแทนด้วย -3