เซตเรื่องเรื่อง-จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
– สัญลักษณ์ และ การหาจำนวนสมาชิกแบบทั่วไป
– เซต (แจกแจงสมาชิก) แบบซับซ้อน
– เซต (บอกเงื่อนไข) แบบซับซ้อน
– สูตรจำนวนสมาชิกของเซต
– แบบฝึกหัดการหาสมาชิกของเซต
สูตรการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด มีดังนี้
สูตรที่ 1 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดและ AUB = Ø แล้ว n(AUB)=n(A)+n(B)
สูตรที่ 2 ถ้า A1,A2,…,Am เป็นเซตจำกัด และเป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่แล้ว
n(A1UA2U…UAm)=n(A1)+n(A2)+…+n(Am)
สูตรที่ 3 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
สูตรที่ 4 ถ้า A,B และ C เป็นเซตจำกัดใดๆ แล้ว
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩B)+n(A∩B∩C)
สูตรที่ 5 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
n(B-A)=n(B)-n(A∩B)
เช่น สมาชิกของเซตจำกัด แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
จากแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ จะได้ว่า
1) n(A) มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(A)=24)
2) n(B) มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(B)=11)
3) n(U) มีค่าเท่ากับท่าไร ( n(U)=45)
4) n(A∩B)มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(A∩B)=5)
5) n(AUB)มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(AUB)=30)
6) n(A-B)มีค่าเท่ากับเท่าไร (n(A-B)=19)
ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถหาจำนวนสมาชิกของเซต A ได้ ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n(A)
การหาจำนวนสมาชิกของเซตซึ่งเกิดจากการยูเนียนกันของเซตจำกัด ในอันดับแรกนี้จะพูดถึงเซตจำกัดซึ่งเป็นเซตต่างสมาชิก กล่าวคือ ถ้ากำหนดให้ A และ B เป็นเซตจำกัด และ A∩B=Ø แสดงว่า A และ B ไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย ดังนั้น AUB จะเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ทุกตัวหรือสมาชิกของ B ทุกตัว โดยไม่มีการตัดสมาชิกตัวใดออกเลย ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดเจนว่า ถ้า n(A)=m และ n(B)=k แล้ว n(AUB)=m+k=n(A)+n(B)
ซึ่งสรุปเป็นสูตรได้ดังนี้
สูตรที่ 1 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดและ A∩B=Ø แล้ว n(AUB)=n(A)+n(B)
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A={5,10,15} และ B={1,2} จะพบว่า A∩B=Ø
และ n(AUB)=n(A)+n(B) ดังนั้น n(AUB)=5
และ n(AUB)=n(A)+n(B) ดังนั้น n(AUB)=5
และ n(A)+n(B)=3+2=5
ดังนั้น n(AUB)=n(A)+n(B)
สูตรที่ 2 ถ้า A1,A2,…,Am เป็นเซตจำกัด และเป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่แล้ว
n(A1UA2U…UAm)=n(A1)+n(A2)+…+n(Am)
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A={3,4},B={5} และ C={6,7} จะพบว่า
A∩B=A∩C=B∩C=Ø แสดงว่า A,B และ C เป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่
AUBUC={3,4,5,6,7}
ดังนั้น n(AUBUC) = 5
และ n(A)+n(B)+n(C)=2+1+2=5
ดังนั้น n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)
การหา n(AUB) โดยที่ A และ B เป็นเซตจำกัดและไม่จำเป็นต้องเป็นเซตต่างสมาชิก กล่าวคือ ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัด โดยที่ n(A)=m, n(B)=k และ n(A∩B)=s ดังนี้
กรณีที่ 1 ถ้า A∩B=Ø แล้ว n(A∩B)=s=0
ดังนั้น จากสูตร 1 จะได้ว่า
n(AUB)=n(A)+n(B)=m+k=m+k-s
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
ดังนั้น จากสูตร 1 จะได้ว่า
n(AUB)=n(A)+n(B)=m+k=m+k-s
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
กรณีที่ 2 ถ้า A∩B=Ø แล้ว n(A∩B)=s>0
ดังนั้น n(A-B)=m-s
n(B-A)=k-s
n(A∩B)=s
เพราะว่า A-B, B-A และ A∩B เป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่และ
AUB=(A-B)U(B-A)U(A∩B)
n(B-A)=k-s
n(A∩B)=s
เพราะว่า A-B, B-A และ A∩B เป็นเซตต่างสมาชิกทีละคู่และ
AUB=(A-B)U(B-A)U(A∩B)
ดังนั้น n(AUB)=n(A-B)U(B-A)U(A∩B)
=n(A-B)+n(B-A)+n(A∩B)
=(m-s)+(k-s)+s
=m+k+s
นั่นคือ n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=n(A-B)+n(B-A)+n(A∩B)
=(m-s)+(k-s)+s
=m+k+s
นั่นคือ n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
จากทั้งสองกรณี สรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้
สูตรที่ 3 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
กำหนดให้ A,B และ C เป็นเซตจำกัดใดๆ
n(AUBUC)=n(AU(BUC))
=n(A)+n(BUC)-n(A∩(B∩C))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n((A∩B)U(A∩C))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-
[n(A∩B)n(A∩C)-n(A∩B)∩(A∩C)]
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)+n(A∩B∩C)
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
กำหนดให้ A,B และ C เป็นเซตจำกัดใดๆ
n(AUBUC)=n(AU(BUC))
=n(A)+n(BUC)-n(A∩(B∩C))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n((A∩B)U(A∩C))
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-
[n(A∩B)n(A∩C)-n(A∩B)∩(A∩C)]
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)+n(A∩B∩C)
ซึ่งสรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้
สูตรที่ 4 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดใดๆ แล้ว
n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩C)
n(A∩C)+n(A∩B∩C)
n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩C)
n(A∩C)+n(A∩B∩C)
จะพบว่า A=(A-B)U(A∩B) และ (A-B)∩(A∩B)=Ø
ดังนั้น จากสูตรที่ 1 จะได้ว่า
n(A) = n((A-B)∩(A∩B))
= n(A-B)+n(A∩B)
ดังนั้น n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
ในทำนองเดียวกัน
n(B-A) = n(B)-n(A∩B)
ดังนั้น จากสูตรที่ 1 จะได้ว่า
n(A) = n((A-B)∩(A∩B))
= n(A-B)+n(A∩B)
ดังนั้น n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
ในทำนองเดียวกัน
n(B-A) = n(B)-n(A∩B)
จาก (1) และ (2) สรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้
สูตรที่ 5 ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
n(B-A)=n(B)-n(A∩B)
กรณีที่ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ U เป็นเซตจำกัด ถ้าเราทราบ n(A) และ n(U)
n(A-B)=n(A)-n(A∩B)
n(B-A)=n(B)-n(A∩B)
กรณีที่ เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ U เป็นเซตจำกัด ถ้าเราทราบ n(A) และ n(U)
แล้วเราสามารถคำนวณหา n(A’) ได้โดยใช้สูตรที่ 1 ดังต่อไปนี้
เนื่องจาก U = A∩A’ และ A∩A’ = Ø ดังนั้นจากสูตรที่ 1 จะได้ว่า
n(U)=n(AUA’)=n(A)+n(A’)
n(A’)=n(U)-n(A)
ซึ่งสรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้
เนื่องจาก U = A∩A’ และ A∩A’ = Ø ดังนั้นจากสูตรที่ 1 จะได้ว่า
n(U)=n(AUA’)=n(A)+n(A’)
n(A’)=n(U)-n(A)
ซึ่งสรุปเป็นสูตรทั่วไปได้ดังนี้
สูตรที่ 6 ถ้า A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U และ U เป็นเซตจำกัดแล้ว
n(A’) =n(U)-n(A)
n(A’) =n(U)-n(A)
ตัวอย่างที่ 1 โรงพยาบาลแห่งหนึ่งทำการสำรวจข้อมูลจากผู้ป่วยที่มีอายุเกิน 40 ปี จำนวน 1,000 คน ปรากฏว่า มีคนสูบบุหรี่ 312 คน มีคนเป็นมะเร็งที่ปอด 180 คน และมี 660 คน ไม่สูบบุหรี่และไม่เป็นมะเร็งที่ปอด อยากทราบว่า มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวนเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้ A แทน เซตของคนที่สูบบุหรี่
B แทน เซตของคนที่เป็นมะเร็งที่ปอด
B แทน เซตของคนที่เป็นมะเร็งที่ปอด
นั่นคือ n(A)=312,n(B)=180,n(C)=44,n(AUB)’=660
จะได้ n(A∩B)
จากสูตร n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
จะได้ n(A∩B)
จากสูตร n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
สูตรการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
ให้ U แทน เซตของผู้ป่วยทั้งหมดที่ทำการสำรวจ
A แทน เซตของผู้ป่วยที่สูบบุหรี่
B แทน เซตของผู้ป่วยที่เป็นมะเร็งที่ปอด
จากโจทย์ จะได้ว่า n(U) = 1,000, n(A)=312, n(B)=180, n(AUB)’=660
จากสูตร n(AUB) = n(U)-n(AUB)’
= 1,000-600
=340
จากสูตร n(AUB) = n(A)+n(B)-n(A∩B)
340 = 312+180-n(A∩B)
n(A∩B) = 312+180-340
=152
ดังนั้น มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวน 152 คน
ให้ U แทน เซตของผู้ป่วยทั้งหมดที่ทำการสำรวจ
A แทน เซตของผู้ป่วยที่สูบบุหรี่
B แทน เซตของผู้ป่วยที่เป็นมะเร็งที่ปอด
จากโจทย์ จะได้ว่า n(U) = 1,000, n(A)=312, n(B)=180, n(AUB)’=660
จากสูตร n(AUB) = n(U)-n(AUB)’
= 1,000-600
=340
จากสูตร n(AUB) = n(A)+n(B)-n(A∩B)
340 = 312+180-n(A∩B)
n(A∩B) = 312+180-340
=152
ดังนั้น มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวน 152 คน
นอกจากวิธีการใช้สูตรแล้ว สามารถนำแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ มาช่วยในการแก้ปัญหาได้ด้วย ดังนี้
วิธีที่ 2 โดยใช้แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
ให้ U แทน เซตของผู้ป่วยทั้งหมดที่ทำการสำรวจ
A แทน เซตของผู้ป่วยที่สูบบุหรี่
B แทน เซตของผู้ป่วยที่เป็นมะเร็งที่ปอด
x แทน จำนวนผู้ป่วยที่สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอด
เขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
ให้ U แทน เซตของผู้ป่วยทั้งหมดที่ทำการสำรวจ
A แทน เซตของผู้ป่วยที่สูบบุหรี่
B แทน เซตของผู้ป่วยที่เป็นมะเร็งที่ปอด
x แทน จำนวนผู้ป่วยที่สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอด
เขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
จะได้ว่า (312-x)+x+(180-x)+660 = 1,000
1,152-x = 1,000
x = 1,152-1,000
x = 152
ดังนั้น มีผู้สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งที่ปอดจำนวน 152 คน
การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด กรณีที่มีเซตจำนวน 3 เซต ดังนี้
ตัวอย่างที่ 2 จากการสำรวจผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ฯ จำนวน 3,000 คน พบว่า
มีผู้ถือหุ้นของบริษัท ก, ข และ ค ดังนี้
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก มีจำนวน 200 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ข มีจำนวน 250 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ค มีจำนวน 300 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ข มีจำนวน 50 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ข และ ค มีจำนวน 40 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ค มีจำนวน 30 คน
และไม่มีผู้ที่ถือหุ้นทั้งสามบริษัท
จากจำนวนผู้ถือหุ้นที่สำรวจ ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่น ๆ ที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้จำนวนเท่าใด
ผู้ถือหุ้นบริษัท ข มีจำนวน 250 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ค มีจำนวน 300 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ข มีจำนวน 50 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ข และ ค มีจำนวน 40 คน
ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ค มีจำนวน 30 คน
และไม่มีผู้ที่ถือหุ้นทั้งสามบริษัท
จากจำนวนผู้ถือหุ้นที่สำรวจ ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่น ๆ ที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้จำนวนเท่าใด
วิธีที่ 1 โดยใช้สูตรการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด
ให้ U แทน เซตของผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ที่ถูกสำรวจทั้งหมด
A แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ก
B แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
C แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ค
A แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ก
B แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
C แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ค
จากโจทย์ จะได้ว่า n(U)=3,000, n(A)=200, n(B)=250, n(C)=300, n(A∩B∩C)=0
n(A∩B) = 50, n(B∩C)=40, n(A∩C)=30
จากสูตร n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)+n(A∩B∩C) = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 +0
= 630
จากสูตร n(AUBUC) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)+n(A∩B∩C) = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 +0
= 630
n(AUBUC)’ = n(U)-n(AUBUC)
= 3,000 – 630
= 2,370
ดังนั้น ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่นๆที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้มีจำนวน 2,370 คน
= 3,000 – 630
= 2,370
ดังนั้น ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่นๆที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้มีจำนวน 2,370 คน
วิธีที่ 2 โดยใช้แผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์
ให้ U แทน เซตของผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ที่ถูกสำรวจทั้งหมด
A แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ก
B แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
C แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ค
x แทน จำนวนของผู้ถือหุ้นทั้งสามบริษัท
ให้ U แทน เซตของผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ที่ถูกสำรวจทั้งหมด
A แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ก
B แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
C แทน เซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ค
x แทน จำนวนของผู้ถือหุ้นทั้งสามบริษัท
เขียนแผนภาพของเวนน์ – ออยเลอร์ ได้ดังนี้
จะได้ว่า n(AUBUC) = (120+x)+(160+x)+(230+x)+(50-x)+(40-x)+x
เนื่องจาก ไม่มีผู้ที่ถือหุ้นทั้งสามบริษัท จะได้ว่า
n(AUBUC) = 120 + 160 + 230 + 50 + 30 +40
n(AUBUC) = 630
ดังนั้น ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่นๆที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้มีจำนวน 3,000 -630 = 2,370 คน
เนื่องจาก ไม่มีผู้ที่ถือหุ้นทั้งสามบริษัท จะได้ว่า
n(AUBUC) = 120 + 160 + 230 + 50 + 30 +40
n(AUBUC) = 630
ดังนั้น ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่นๆที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้มีจำนวน 3,000 -630 = 2,370 คน
