เมทริกซ์(คณิตศาสตร์)-การบวกลบและการคูณเมทริกซ์-คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์-เมทริกซ์ (Matrix)

การบวก ลบ และคูณเมทริกซ์ เราจะนำสมาชิกของเมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์มาบวก ลบ คูณกัน ซึ่งการดำเนินการเหล่านี้มีสมบัติและข้อยกเว้นต่างกันไป เช่น การบวกต้องเอาสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน เป็นต้น

ต่อไปเราจะมาดูวิธีการบวก ลบ และคูณเมทริกซ์กันค่ะ

การบวกเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันได้นั้น ต้องมีมิติเท่ากัน และการบวกจะนำสมาชิกตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน

ตัวอย่าง 1 แสดงถึงเมทริกซ์ใดที่สามารถบวก ลบกันได้

ให้ A = [1 2 3]
B =

C = [7 8 9]

จะเห็นว่าเมทริกซ์ที่สามารถบวกลบกันได้นั้น มีเมทริกซ์ A กับ C เท่านั้นเพราะว่าเมทริกซ์ A กับ C มีมิติเดียวกัน คือ 1×3 ซึ่งสัญลักษณ์สำหรับการบวก ลบ คือ + –
ดังนั้น

A+C = [1 2 3] + [7 8 9]
A+C = [ 1+7 2+8 3+9 ]

สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน สามารถ บวกกันได้เช่นสมาชิก 1,7 อยู่ในตำแหน่งเดียวกันคืออยู่ที่แถวที่ 1 และสดมภ์ที่ 1

= [ 8 10 12 ]

A-C = [1 2 3] – [7 8 9]

A-C = [ 1-7 2-8 3-9 ]

สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน สามารถ ลบกันได้
= [ -6 -6 -6 ]

จากการบวกลบเมทริกซ์ สามารถเขียนเป็นรูปทั่วไปของการบวกลบได้ดังนี้

ให้ A = [aij] และ B = [bij] ที่เป็นเมทริกซ์มิติ mxn แล้วผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B เป็น A+B ซึ่งมีค่าเป็น [aij + bij] มิติ mxn ผลลบของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B เป็น A-B ซึ่งมีค่าเป็น [aij – bij] มิติ mxn

เช่น

1.)

2.)

การลบเมทริกซ์

การลบเมทริกซ์จะคล้ายๆกับการบวกเมทริกซ์เลย คือ มิติของเมทริกซ์ที่จะนำมาบวกกันจะต้องเท่ากัน แต่ต่างกันตรงที่สมาชิกข้างในเมทริกซ์จะต้องนำมาลบกัน เช่น

1.)

2.)

สมบัติการบวกเมทริกซ์

สมบัติปิดการบวก คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันบวกกันแล้วผลลัพธ์ยังเป็นเมทริกซ์เหมือนเดิมและมิติก็เท่าเดิมด้วย
สมบัติการสลับที่การบวก คือ ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ จะได้ว่า A +B = B +A
สมบัติการเปลี่ยนหมู่ คือ (A + B) + C = A + (B + C)
สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก ซึ่งเอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ศูนย์ (สมาชิกทุกตำแหน่งเป็น 0) เขียนแทนด้วย $\underbar{0}$
สมบัติการมีตัวผกผัน คือ ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆแล้วจะได้ว่า (-A) เป็นเมทริกซ์ผกผันของ A ซึ่งเมื่อนำ A มาบวกกับ -A แล้วจะได้เมทริกซ์ศูนย์

การคูณเมทริกซ์ ด้วยจำนวนจริง

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงคือ การนำจำนวนจริงค่าหนึ่งคูณกับเมทริกซ์ ซึ่งวิธีการคูณแบบนี้น้องๆสามารถนำจำนวนจริงนั้นเข้าไปคูณกับสมาชิกในตำแหน่งในเมทริกซ์ (ต้องคูณทุกตัวแหน่ง) และเมทริกซ์นั้นจะเป็นกี่มิติก็ได้ เช่น

สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

ให้ A, B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ $\inline m\times n$ และ c, d เป็นจำนวนจริง

(cd)A = c(dA) = d(cA) เช่น
c(A + B) = cA + cB
(c + d)A = cA + dA
1(A) = A และ -1(A) = -A

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

เมทริกซ์ที่จะคูณกันได้ต้องมีหลักเกณฑ์ดังนี้

1.) จำนวนหลักของเมทริกซ์ตัวหน้าต้อง เท่ากับ จำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวหลัง

2.) มิติของเมทริกซ์ผลลัพธ์จะเท่ากับ จำนวนแถวของตัวหน้าคูณจำนวนหลักของตัวหลัง

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
        ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ 2 เมทริกซ์ใด ๆ การนำเมทริกซ์ A มาคูณกับเมทริกซ์ B จะเกิดผลขึ้นอย่างใดอย่างหนึ่งใน 2 อย่างต่อไปนี้
1. ไม่สามารถหาผลคูณได้
2. สามารถหาผลคูณได้
ปัญหาที่เราจะต้องทราบก็คือ ถ้าหาผลคูณได้ต้องมีเงื่อนไขอย่างไร และสมาชิกของเมทริกซ์ที่เป็นผลคูณจะหามาได้อย่างไร ให้นักเรียนดูหลักการต่อไปนี้
1. มิติของเมทริกซ์ที่นำมาหาผลคูณ
ถ้า A เป็นเมทริกซ์
B เป็นเมทริกซ์
ผลคูณ AB จะเกิดขึ้นได้เมื่อ  และ AB จะมีมิติ

ข้อสังสังเกตในการคูณ ถ้าใช้แถวใด คูณ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นแถวนั้นถ้าคูณหลักใดก็ได้หลักนั้น ของเมทริกซ์ผลลัพธ์ เช่น

– แถวที่ 1 คูณหลักที่ 1 ผลลัพธ์ก็จะอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 1 หลักที่ 1 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์
– แถวที่ 1 คูณหลักที่ 2 ผลลัพธ์ก็จะอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 1 หลักที่ 2 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์
– แถวที่ 1 คูณหลักที่ 3 ผลลัพธ์ก็จะอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 1 หลักที่ 3 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์
– แถวที่ 2 คูณหลักที่ 1 ผลลัพธ์ก็จะอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 2 หลักที่ 1 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์
– แถวที่ 2 คูณหลักที่ 2 ผลลัพธ์ก็จะอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 2 หลักที่ 2 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์
– แถวที่ 2 คูณหลักที่ 3 ผลลัพธ์ก็จะอยู่ตำแหน่ง แถวที่ 2หลักที่ 3 ของเมทริกซ์ผลลัพธ์

อ้างอิง :

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/sakaew/niracha_p/mathm_5/sec02p05_1.html

http://th.wikipedia.org/wiki/เมทริกซ์_(คณิตศาสตร์)