เรียนเลขออนไลน์ สรุปความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4
ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า
r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}
กราฟของความสัมพันธ์
| ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้ | ||
| บทนิยาม |
|
|
| ตัวอย่างที่ 1 | จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์ |
| r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้ | |
| A = {1, 2, 3, 4}
ขั้นที่ 1 ให้ลองแทนค่าของจำนวนเต็มบวก x ลงในสมการ y = x² ที่ต้องแทน x เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะเงื่อนไขในเซต A นั่นเอง แทน x = 1, 2, 3, 4 x = 1 ; y = 5-1 = 4 x = 2 ; y = 5-2 =3 x = 3 ; y = 5-3 = 2 x = 4 ; y = 5-4 = 1 ขั้นที่ 2 เมื่อเราแทนค่า และได้ค่า y มาแล้ว ให้เราเขียนคู่อันดับที่เราได้จากขั้นที่ 1 จะได้คู่อันดับ ดังนี้ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) **คู่อันดับที่ได้นี้เป็นเพียงสมาชิกบางส่วนของ r นะคะ เนื่องจากสมาชิกของ r เยอะมาก เราเลยยกตัวอย่างมาบางส่วนเพื่อที่จะเอาไปเขียนกราฟ** ขั้นที่ 3 นำคู่อันดับที่ได้จากขั้นที่ 2 มาเขียนกราฟ โดยแกนตั้งคือ y แกนนอนคือ x วิธีการเขียนกราฟคือ นำคู่อันดับแต่ละคู่มามาเขียนบนกราฟ แล้วลากเส้นเชื่อมจุดแต่ละจุด |
|
r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
 |
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A
- A×{} = {}
- {}×A = {}
- A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
- A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
- A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
- n(A×B) = n(A).n(B)
ความสับพันธ์และฟังก์ชัน และ อินเวอร์ส(ตัวผกผัน)ของความสัมพันธ์
ฟังก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย ƒ-1 เมื่อ ƒ เป็นฟังก์ชัน ƒ → ƒ-1
จากที่เรารู้กันว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นฟังก์ชันก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แต่ตัวผกผันนั้นไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป
เพราะอะไรถึงไม่จำเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน เราลองมาดูตัวอย่างกันค่ะ
ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)} จะเห็นว่า f เป็นฟังก์ชัน
พิจารณาตัวผกผันของ f เท่ากับ {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)} จากนิยามของฟังก์ชัน ถ้าตัวหน้าเท่ากันแล้วตัวหลังจะต้องเท่ากัน ทำให้ได้ว่า ตัวผกผันของ f ไม่เป็นฟังก์ชัน
| การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้ | |||||||||
| วิธีที่ 1 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม | ||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
|
r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| วิธีที่ 2 | สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม | ||||||||
| ตัวอย่างเช่น | r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1} | ||||||||
| r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1} | |||||||||
|
|
||||||||
|
สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์ |
|||||||||
| ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B | |||||||||
| 1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A | |||||||||
| 2. D r = R r-1 และ R r = D r-1 | |||||||||
ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Functions)
บทนิยาม กำหนดให้ฟังก์ชัน f = {(x,y)∈ R x R |y = f(x)}
ตัวผกผันของฟังก์ชัน คือ ความสัมพัธ์ f-1 = {(y, x) ∈ R x R | y = f(x) }
จากบทนิยามอินเวอร์สของฟังก์ชันอาจจะเป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชันก็ได้
เช่น f = ((1, 2),(2, 0), (3, 2), (4, 5) จะพบว่า f เป็นฟังก์ชัน
แต่ f-1 = (2, 1), (0, 2), (2, 3), (5, 4)เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชัน f แต่ไม่เป็นฟังชัน
เพราะ f-1(2) = 1, 3
ทฤษฎีบท กำหนดฟังก์ชัน f(x)
f-1(x)เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f(x) เป็นฟังก็ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
และเรียก f-1 ว่า ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function)
นั่นคือ y = f(x) ก็ต่อเมื่อ x =f-1(x)
เป็น อินเวอร์สฟังก์ชัน เมื่อ f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1 - 1
เป็น ฟังก็ชันอินเวอร์ส เมื่อ f เป็นฟังก็ชัน 1 - 1
สมบัติ
1. f-1 เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1 - 1
2. ถ้า f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 แล้ว f ไม่มีฟังก์ชันผกผัน แต่จะมีตัวผกผันของฟังก์ขัน
3. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 แล้ว f-1 เป็นฟังก์ชัน 1 - 1
4. ถ้า f:A→B (ฟังก์ชันทั่วถึงแบบ 1 ต่อ 1) แล้ว f-1 :B→A (ฟังก์ชันทั่วถึงแบบ 1 ต่อ 1)
5. ถ้า D r = R r-1 และ R r = D r-1
6. กราฟของ f และ f-1 จะสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y = x
ทำให้ f(x) = f-1(x) ก็ต่อเมื่อ f(x)=x
7. ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จะได้ว่า y = f(x) ก็ต่อเมื่อ x =f-1(y)
ทฤษฎีบท ถ้า f: X → Y แล้ว สำหรับเซต A,B ใดๆ ซึ่ง A⊂X, B⊂X
(1) ถ้า A⊂B แล้ว f-1(A)⊂f-1(B)
(2) f-1(AυB)=f-1(A) υ f-1(B)
(3) f-1(A∩B)=f-1(A) ∩ f-1(B)
(4) f-1(A)-f(B)=f-1(A-B)
