เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม (Exponential Function)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponential Function) ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ระดับ ม.5
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function)
หมายถึงฟังก์ชัน ex เมื่อ e คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน ex เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง e มีค่าประมาณ 2.718281828) ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(x) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้
กราฟของฟังก์ชัน y = ex มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ x เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน x เสมอ แต่เมื่อ x เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน x ดังนั้นแกน x จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด y ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น แอนติลอการิทึม (antilogarithm)
ในบางกรณีคำว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cbx เมื่อ b คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น e ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้
โดยทั่วไปตัวแปร x สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย
นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน
f={(x,y)∈R×R∣y=ax,a>0,a≠1}
สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
1. เมื่อ a > 1 ฟังก์ชัน y=ax จะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม และเมื่อ 0 < a < 1 ฟังก์ชัน y=ax จะเป็นฟังก์ชันลด
2. ไม่มีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
3. กราฟของฟังก์ชันจะผ่านจุด (0, 1) และจะอยู่เหนือแกน X เสมอ
4. โดเมนของฟังก์ชันเป็นจำนวนจริง (R) และเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นจำนวนจริงบวก ( R+)
5. เมื่อ a มีค่ามาก ๆ กราฟของฟังก์ชันจะเรียวยาว
6. แกน y จะเป็นแกนสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน y = ax และ y=(1a)x
7. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลบนระนาบ X ‘Y ‘ มีจุดกำเนิดที่ ( h, k) เทียบกับระนาบ XY มีจุดกำเนิดที่ (0, 0) จะมีสมการเป็น y – k = ax-h
8. a x= ay ก็ต่อเมื่อ x =y
9. ถ้า a x> ay แล้วx> y เมื่อ a > 1
10. ถ้า a x> ay แล้ว x < y เมื่อ 0 < a < 1
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของ loga ((x2 + 1) 4√x)
เริ่มต้นด้วย: loga ((x2 + 1) 4√x)
ใช้ loga (mn) = logam + logan: loga ((x2 + 1) 4) + loga (√x)
ใช้ loga (mr) = r (logam): 4 loga (x2 + 1) + loga (√x)
ยัง√x = x½: 4 loga (x2 + 1) + loga (x½)
ใช้ loga (mr) = r (logam) อีกครั้ง: 4 loga (x2 + 1) + ½ loga (x)
นั่นคือเท่าที่เราสามารถทำให้ง่ายขึ้น … เราไม่สามารถทำอะไรกับ loga (x2 + 1)
คำตอบ: 4 loga (x2 + 1) + ½ loga (x)
หมายเหตุ: ไม่มีกฎสำหรับการจัดการ loga (m + n) หรือ loga (m-n)
นอกจากนี้เรายังสามารถใช้กฎลอการิทึม “ย้อนหลัง” เพื่อรวม logarithms:
ตัวอย่าง: เปลี่ยนเป็นลอการิทึมหนึ่ง: loga (5) + loga (x) – loga (2)
เริ่มต้นด้วย: loga (5) + loga (x) – loga (2)
ใช้ loga (mn) = logam + logan: loga (5x) – loga (2)
ใช้ loga (m / n) = logam – logan: loga (5x / 2)
คำตอบ: loga (5x / 2)
ลอการิทึมธรรมชาติและฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมชาติ
เมื่อฐานเป็น e (“Euler’s Number” = 2.718281828459 … ) เราจะได้รับ:
ลอการิทึมธรรมชาติ loge (x) ซึ่งเขียนโดยทั่วไป ln (x)
ฟังก์ชัน Exponential ตามธรรมชาติเช่น
และความคิดเช่นเดียวกันว่า “เลิกทำ” คนอื่น ๆ ก็ยังคงเป็นความจริง:
ln (ex) = x
e (ln x) = x
และนี่คือกราฟของพวกเขา:
ลอการิทึมธรรมชาติ
ฟังก์ชั่น Exponential ตามธรรมชาติ
