การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่มีตัวแปรเดียว
ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติ
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x
วิธีทำ x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)
= x(x + 2)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 – 20x
วิธีทำ 4x2 – 20x = (4x)(x) – (4x)(5)
= 4x(x – 5)
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x2 – 6x
วิธีทำ -4x2 – 6x = -2x(2x + 3)
หรือ -4x2 – 6x = 2x(-2x – 3)
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ -15x2 + 12x
วิธีทำ -15x2 + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)
= 3x(-5x + 4)
หรือ -15x2 + 12x = (-3x)(-5x) – (-3x)(4)
= -3x(5x – 4)
การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0
ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x2 + bx + c
สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]
= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)
= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]
= (x + 2)x + (x + 2)(3)
= (x + 2)(x + 3)
นั่นคือ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้
1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]
= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
= x2 + 5x + 6
ให้สังเกตว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2+ 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
= x2 + (-1)x + (-20)
= x2 – x – 20
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 – x – 20 ได้ดังนี้ x2 – x – 20 = (x + 4)(x – 5)
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้
x2– x – 20 = x2 + (-1)x + (-20)
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)
= (x + 4)[x + (-5)]
= (x + 4)(x -5)
ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2– x – 20 ได้ ถ้าเราสามารถ
เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และบวกกันได้ 6 ก่อน ดังนี้
เนื่องจาก x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + (2)(4)
= x2 + (2x + 4x) + (2)(4)
= (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]
= (x + 2)x + (x + 2)(4)
= (x + 2)(x + 4)
ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x2 + bx + c เมื่อ b , c
ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x + 21
วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21
และ (-3) + (-7) = -10
ดังนั้น x2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]
นั่นคือ x2 – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x – 6
วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = – 6
และ (-1) + (6) = 5
การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง
ผลต่างกำลังสอง
-
- a2 – b2 = (a + b)(a – b)
1. (x + 3)(x – 3) = x2 – 3x + 3x – 9
= x2 – 9
= x2 – 32
2. (x + 7)(x – 7) = x2 – 7x + 7x – 49
= x2 – 49
= x2 – 72
3. (3x + 5)(3x – 5) = 9x2 – 15x + 15x – 25
= 9x2 – 25
= (3x)2 – 52
พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามสองต่อไปนี้
1. x2 – 25 = x2 – 52
= (x + 5)(x – 5)
2. 36x2 – 49 = (6x)2 – 72
= (6x + 7)(6x – 7)
1. x2 – 25 = x2 – 52
= (x + 5)(x – 5)
ถ้าให้ x เป็นพจน์หน้าและ 5 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง)
2. 36x2 – 49 = (6x)2– 72
= (6x + 7)(6x – 7)
ถ้าให้ 6x เป็นพจน์หน้าและ 7 เป็นพจน์หลัง จะเขียนความสัมพันธ์ได้ดังนี้
(พจน์หน้า)2 – (พจน์หลัง)2 = (พจน์หน้า + พจน์หลัง) (พจน์หน้า – พจน์หลัง)
ที่เป็นผลต่างของกำลังสองได้ตามสูตร ดังนี้
เราสามารถใช้สูตรนี้ ในกรณีที่ A และ B เป็นพหุนามในการแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121
วิธีทำ x2 – 121 = x2 – 112
ดังนั้น x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121
วิธีทำ x2 – 121 = x2 – 112
ดังนั้น x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 49x2 – 196
วิธีทำ 49x2 – 196 = (7x)2 – 142
= (7x + 14)(7x – 14)
= 7(x + 2)(7)(x – 2)
ดังนั้น 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2)
|
|
