โครงสร้างของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญต่อชีวิตของมนุษย์เป็นอันมาก มนุษย์เริ่มเรียนรู้แนวทางคณิตศาสตร์จากสภาพแวดล้อมหรือธรรมชาติแล้วนำไปสู่การสรุปเป็นกฎเกณฑ์ต่าง ๆ ซึ่งสามารถนำไปใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวันได้ คนส่วนใหญ่ที่ไม่ได้เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยตรงมักจะเข้าใจว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องของตัวเลขและการคำนวณเท่านั้น ซึ่งที่จริงแล้วคณิตศาสตร์เป็นเรื่องที่หมายรวมไปถึงการแก้ปัญหาและการให้เหตุผลด้วย คณิตศาสตร์นับเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาค้นคว้าสร้างองค์ความรู้ในศาสตร์อื่น ๆ และคิดค้นสิ่งประดิษฐ์ต่าง ๆ
ดังนั้นในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์จึงจำเป็นจะต้องรู้และเข้าใจเกี่ยวกับธรรมชาติของคณิตศาสตร์เพื่อประโยชน์ในการเลือกวิธีที่จะศึกษาให้เหมาะสมและสอดคล้องกับธรรมชาติของคณิตศาสตร์ต่อไป
1. ธรรมชาติของคณิตศาสตร์
นักการศึกษาทางคณิตศาสตร์ได้สรุปประเด็นธรรมชาติของคณิตศาสตร์ที่สำคัญ ๆ ไว้ดังนี้
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด
ในวิชาคณิตศาสตร์มีการสร้างความคิดต่าง ๆ ขึ้นซึ่งความคิดเหล่านี้ได้มาจากการสรุปความคิดเห็นที่เหมือน ๆ กัน ซึ่งอาจจะได้จากประสบการณ์หรือปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น เรียกว่า ความคิดรวบยอด เช่น ความคิดรวบยอดเรื่องการเท่ากันของจำนวน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส การเท่ากันทุกประการ เป็นต้น ซึ่งในแต่ละเนื้อหาของวิชาคณิตศาสตร์เมื่อผู้เรียนได้ศึกษาและจะต้องเกิดความคิดรวบยอดขึ้นในเนื้อหานั้น ๆ จึงจะเกิดประโยชน์
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่แสดงความเป็นเหตุเป็นผล
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีการแสดงแนวคิดอย่างเป็นระบบ เป็นขั้นตอน การสรุปในแต่ละขั้นตอนจะต้องมีการอ้างอิงเหตุผลอย่างสมเหตุสมผล ทุกขั้นตอนในแต่ละเนื้อหาจะเป็นเหตุเป็นผลต่อกัน มนุษย์จึงสามารถใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาค้นคว้าองค์ความรู้ใหม่ ๆ และคิดค้นสิ่งประดิษฐ์ต่าง ๆ ได้
คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นสากล
ในวิชาคณิตศาสตร์จะมีการกำหนดสัญลักษณ์ขึ้นใช้เพื่อสื่อความหมาย ซึ่งทำให้สามารถเขียนข้อความทางคณิตศาสตร์ได้รัดกุม ชัดเจน สื่อความหมายได้ถูกต้อง เกิดความเข้าใจตรงกัน จึงนับได้ว่าคณิตศาสตร์มีภาษาเฉพาะของตัวเอง เป็นภาษาที่ทุกคนที่เรียนคณิตศาสตร์เข้าใจตรงกัน เช่น log 10 = 1 เป็นต้น
คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง
ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์นั้น นักคณิตศาสตร์นอกจากจะเป็นนักคิดแล้วจำเป็นต้องเป็นผู้มีจิตนาการ ช่างสังเกต มีความละเอียดรอบคอบ รู้จักเลือกคำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบทมาใช้ได้อย่างถูกต้อง ตามลำดับก่อนหลังพร้อมทั้งการให้เหตุผลอย่างสมเหตุสมผล รวมถึงการถ่ายทอดสิ่งที่พิสูจน์ได้แล้วออกมาอย่างมีระบบระเบียบ เป็นขั้นเป็นตอนอย่างชัดเจน พอจะสรุปได้ว่าความงามของคณิตศาสตร์อยู่ที่ความมีระเบียบ ความกลมกลืนของแนวคิดตลอดจนความละเอียดถี่ถ้วนและรอบคอบ
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้าง
โครงสร้างของคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้นมีกำเนิดมาจากธรรมชาติ โดยมนุษย์ได้เฝ้าสังเกตความเป็นไปของธรรมชาติ ซึ่งอาจจะเป็นทางชีววิทยา ฟิสิกส์ จิตวิทยา เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ โดยพิจารณาปัญหาต่าง ๆ ของเนื้อหาเหล่านั้นแล้วสรุปในรูปนามธรรม สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเนื้อหานั้น ๆ ซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย คำอนิยาม คำนิยาม และสัจพจน์ จากนั้นจึงใช้ตรรกศาสตร์สรุปออกมาเป็นกฎหรือทฤษฎีบท แล้วนำกฎหรือทฤษฎีบทเหล่านี้ไปประยุกต์ใช้ในธรรมชาติต่อไป ด้วยวิธีการดังกล่าวทำให้มนุษย์เข้าใจความเป็นไปของธรรมชาติได้ดียิ่งขึ้นและในขณะที่นำกฎหรือทฤษฎีบทไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติ อาจจะได้ข้อมูลใหม่ก่อให้เกิดการปรับปรุงแก้ไขแบบจำลอง จนกระทั่งอาจจะ
ทำให้ได้กฎหรือทฤษฎีบทที่ดีกว่าเดิม แล้วนำไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติอีกครั้งหนึ่ง ดังแผนภูมิต่อไปนี้
2 โครงสร้างของคณิตศาสตร์
โครงสร้างของคณิตศาสตร์ประกอบด้วย 4 ส่วน ดังนี้
- คำอนิยาม คำอนิยาม (undefined term) หมายถึงคำที่ไม่สามารถให้คำจำกัดความได้ แต่สามารถเข้าใจความหมายได้ โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ ความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของมัน เช่น จุด เส้น ระนาบ เป็นต้น
- คำนิยาม คำนิยาม (defined term) หมายถึงคำที่สามารถให้คำจำกัดความได้ เช่น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วงกลม เส้นขนาน เป็นต้น
- สัจพจน์ สัจพจน์ (postulate) หมายถึงข้อความที่ยอมรับหรือตกลงว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น “เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเพียงจุดเดียวเท่านั้น” “ลากเส้นตรงให้ผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น”
- ทฤษฎีบท ทฤษฎีบท (theorem) หมายถึงข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง ซึ่งในการพิสูจน์อาจใช้คำอนิยาม คำนิยาม สัจพจน์ หรือทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่ได้พิสูจน์มาแล้ว เช่น “มุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา” “เส้นตรงสองเส้นตัดกันมุมตรงข้ามย่อมเท่ากัน”
3 ระบบคณิตศาสตร์
ระบบคณิตศาสตร์มีองค์ประกอบที่สำคัญ 2 ส่วน คือ โครงสร้างของคณิตศาสตร์ และ กระบวนการให้เหตุผล สำหรับโครงสร้างของคณิตศาสตร์ได้กล่าวมาแล้วในหัวข้อ 2 ในหัวข้อ 3 จะกล่าวถึงเฉพาะกระบวนการให้เหตุผล
กระบวนการให้เหตุผล (reasoning) เป็นเครื่องมือที่มนุษย์ใช้แสวงหาความรู้ใหม่ ๆ โดยการนำเอาความจริงอย่างใดอย่างหนึ่งหรือหลายอย่างในระบบ ซึ่งเรียกว่า เหตุหรือข้อตั้ง (premise) มาวิเคราะห์แจกแจงแสดงความสัมพันธ์ เพื่อให้เกิดความจริงอันใหม่ขึ้น ซึ่งเรียกว่า ผล หรือ ผลสรุป หรือ ข้อยุติ (conclusion)
กระบวนการให้เหตุผลแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะดังนี้
1. การให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) เป็นการสรุปความรู้ใหม่ หรือสรุปผลการค้นหาความจริง โดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองหลาย ๆ ตัวอย่าง จากกรณีย่อย ๆ แล้วสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป ซึ่งผลสรุปที่ได้จากการให้เหตุผลแบบนี้ไม่ได้ถูกบังคับจากเหตุที่กำหนดให้ เนื่องจากเหตุแต่ละเหตุที่กำหนดให้หรือนำมาอ้างอิงเป็นอิสระต่อกัน
ตัวอย่าง การให้เหตุผลเชิงอุปนัย
ตัวอย่าง 1 จงหาพจน์ที่ n ของ 1, 3, 5, 7, 9, … พิจารณาแต่ละพจน์ของลำดับต่อไปนี้
พจน์ที่ 1 คือ 1
พจน์ที่ 2 คือ 3 เขียนได้เป็น 1 + 2
พจน์ที่ 3 คือ 5 เขียนได้เป็น 1 + 2 + 2
พจน์ที่ 4 คือ 7 เขียนได้เป็น 1 + 2 + 2 + 2
พจน์ที่ 5 คือ 9 เขียนได้เป็น 1 + 2 + 2 + 2 + 2
จากการสังเกตจะเห็นว่า จำนวนของ 2 ที่บวกกับ 1 น้อยกว่าจำนวนที่แสดงลำดับที่ของพจน์อยู่ 1
ดังนั้นพจน์ที่ 100 คือ 1 บวกด้วย 2 อีก 99 ตัว
นั่นคือ พจน์ที่ 100 คือ 1 + (99 × 2) = 199
ดังนั้น พจน์ที่ n หรือรูปทั่วไปของลำดับ จึงหาได้จาก 1 + (n – 1)2 = 2n – 1
ดังนั้นลำดับ 1, 3, 5, 7, 9, … จึงเขียนเป็น 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n – 1
ตัวอย่าง 2 จากการสังเกตต้นมะพร้าวพบว่า
ต้นที่ 1 “ไม่แตกกิ่ง”
ต้นที่ 2 “ไม่แตกกิ่ง”
ต้นที่ 3 “ไม่แตกกิ่ง”
. .
. .
. .
ต้นที่ 100 “ไม่แตกกิ่ง”
จากสิ่งที่สังเกตจึงสรุปว่า “ต้นมะพร้าวทุกต้นไม่แตกกิ่ง”
โดยทั่ว ๆ ไป การให้เกตุผลแบบอุปนัย นิยมใช้ในการศึกษาค้นคว้าคุณสมบัติต่าง ๆ ทางวิทยาศาสตร์ เช่น ข้อสรุปที่ว่า “สารสกัดที่ได้จาดสะเดาสามารถใช้เป็นยากำจัดศัตรูพืชได้” เป็นข้อสรุปที่ได้จากการทดลองซ้ำกันหลาย ๆ ครั้ง แล้วได้ผลการทดลองตรงกัน หรือในทางคณิตศาสตร์จะใช้ในเรื่องการสร้างสัจพจน์ เช่น เมื่อทดลองลากเส้นตรงสองเส้นให้ตัดกัน จะพบว่า เส้นตรงสองเส้นจะตัดกันเพยงจุดเดียวเท่านั้น ไม่ว่าจะทดลองลากกี่ครั้งก็ตาม จึงสรุปได้ว่า เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น
2. การให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) เป็นการสรุปความรู้ใหม่ หรือ ข้อความจริงใหม่ ซึ่งเรียกว่าผลสรุปที่เป็นผลมาจากการนำข้อความที่กำหนดให้ซึ่งยอมรับว่าเป็นจริง ซึ่งเรียกว่าเหตุ ถ้าถ้าเหตุที่กำหนดให้บังคับให้เกิดผลสรุป แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล (valid) แต่ถ้าเหตุที่กำหนดให้ไม่สามารถจะบังคับให้เกิดผลสรุปได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าว ไม่สมเหตุสมผล (in valid)
ตัวอย่าง การให้เหตุผลเชิงนิรนัย
ตัวอย่าง 3 พิจารณาการให้เหตุผลต่อไปนี้
เหตุ
1. หมูเป็นสัตว์น้ำ
2. สัตว์น้ำทุกชนิดออกลูกเป็นตัว
ผลสรุป หมูออกลูกเป็นตัว
การให้เหตุผลดังกล่าวเป็นการให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล เนื่องจากเหตุแต่ละเหตุที่นำมาอ้างอิงบังคับให้เกิดผลสรุป
ตัวอย่าง 4 พิจารณาให้เหตุผลต่อไปนี้
เหตุ
1. มนุษย์ทุกคนมีสองขา
2.ผู้หญิงทุกคนมีสองขา
ผลสรุป ผู้หญิงทุกคนเป็นมนุษย์
จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่า ผลสรุปเป็นความจริง แต่เป็นการให้เหตุผลที่ไม่สมเหตุสมผลเพราะเหตุที่นำมาอ้างไม่สามารถบังคับให้เกิดผลสรุปดังกล่าวได้ เหตุแต่ละเหตุมีความเป็นอิสระไม่สัมพันธ์กันแต่ประการใด
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด มีลักษณะเป็นนามธรรม มีการกำหนดสัญลักษณ์ขึ้นใช้ซึ่งมีลักษณะเป็นภาษาสากล มีความเป็นศิลปะในตัวเอง และมีโครงสร้างที่ชัดเจนซึ่งประกอบด้วย คำอนิยาม คำนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท ซึ่งมนุษย์ได้นำคณิตศาสตร์ไปใช้ในชีวิตประจำวัน ตลอดถึงการนำไปใช้ในการประกอบอาชีพต่างๆ
ระบบคณิตศาสตร์ประกอบด้วย โครงสร้างของคณิตศาสตร์ และกระบวนการให้เหตุผลซึ่งเป็นกระบวนการให้เหตุผลเชิงอุปนัย และนิรนัย