เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ-เลขออนไลน์ม.ปลาย

เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือการเท่ากันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต่างกัน และเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมุม

นิยาม
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ  คือ  การเท่ากันของอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา
เมื่อกำหนด  A  เป็นมุมแหลม
1.  sin A  x  cosec A     =       1
2.  cos A  x  sec A        =       1
3.  tan A  x  cot A         =       1
4.  cos A  x  tan A         =       sin A
5.  cot A  x  sin A          =       cos A
6.  sin2A  +  cos2A        =       1
7.  sec2A  –  tan2A         =       1
8.  cosec2A  –  cot2A     =       1

หรือเขียนได้อีกแบบ

sinA * cosA = 1
cosA * secA = 1
tanA * cotA = 1
cosA * tan A = sinA
sinA * cot A = cosA
sin2 A * cos2A = 1
sec2A – tan2A = 1
cos2A – cot2A = 1

เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ ( 0 < X,Y < 360 )จะได้
sin ( X + Y ) = sinX * cosY + cosX * sinY
sin ( X – Y ) = sinX * cosY – cosX * sinY
cos ( X + Y ) = cosX * cosY – sinX * sinY
cos ( X – Y ) = cosX * cosY + sinX * sinY
tan ( X + Y ) = tanX + tanY / 1 – tanX tanY
tan ( X – Y ) = tanX – tanY / 1 + tanX tanY
sinX + sinY = 2sin [ (X + Y) /2 ] cos [ ( X – Y ) / 2]
sinX – sinY = 2cos [ (X + Y) /2 ] sin [ ( X – Y ) / 2]
cosX + cosY = 2cos [ (X + Y) /2 ] cos [ ( X – Y ) / 2]
cosX – cosY = -2sin [ (X + Y) /2 ] sin [ ( X – Y ) / 2]
tanX + tanY = [ sin ( X + Y) ] / cosX cosY
tanX – tanY = [ sin ( X – Y) ] / cosX cosY
cotX + cotY = [ sin ( X + Y) ] / sinX sinY

cotX – cotY = [ -sin ( X – Y) ] / sinX sinY

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

คำว่า “ตรีโกณมิติ” ตรงกับคำ ภาษาอังกฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวัด รูปสามเหลี่ยมได้มีการนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น การหาความสูงของภูเขา การหาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น

จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

เมื่อพิจารณามุม A

BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย

CA เรียกว่า ด้านประชิดมุม  A ยาว b หน่วย

AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

เมื่อพิจารณามุม B

AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b หน่วย

CB เรียกว่า ด้านประชิดมุม B ยาว a หน่วย

BA เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย

สรุปได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก

sine, cosine, tangent

Sine ( sin )

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

ไซน์(sine)ของมุมAหรือsin Aคือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA /ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a/c

Cosine ( cos)

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

โคไซน์(cosine)ของมุมAหรือcos Aคือ ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ b/c

Tangent ( tan )

เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB

ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ

แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A หรือ tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ a/b

ค่ามุมอื่นๆ นอกจาก sin,cos,tan

Cosec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA หรือ เป็นส่วนกลับของ Sin A

Sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Cos A

Cot A = ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุม A  หรือ เป็นส่วนกลับของ Tan A

เทคนิคการจำ

Sin A = ข้าม / ฉาก

Cos A =  ชิด / ฉาก

Tan A = ข้าม / ชิด

ข้าม  คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น ๆ

ชิด    คือ ความยาวด้านประชิดมุมนั้น ๆ

ฉาก  คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

_____________________________________________________________________________

ตัวอย่างการหาค่า sin,cos,tan,cosec,sec และcot

จำเป็นต้องรู้เรื่อง พีทาโกรัสด้วย  ให้ด้านที่ไม่รู้เป็น X

จาก พีทาโกรัส       (ด้านตรงข้ามฉาก)²  = (ด้านประชิดมุมฉาก)² +( ด้านประชิดมุมฉากอีกด้าน)²

                                                                                        25²              =        20² + X²

                                                                                                 X           =            15

ดังนั้น

Sin C = ข้าม / ฉาก = 15/25 = 3/5

Cos C =  ชิด / ฉาก = 20/25 = 4/5

Tan C = ข้าม / ชิด = 15/20 = 3/4

Cosec C = ส่วนกลับของ Sin C  = 5/3

Sec C     = ส่วนกลับของ Cos C = 5/4

Cot C    = ส่วนกลับของ Tan C = 4/3

ค่าตรีโกณมิติที่ควรทราบ

หัวข้อที่แล้ว เราได้เรียนรู้หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยวิธีมือแล้ว คราวนี้เรามาดูตารางสรุปกันได้กว่าว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐานที่เราควรทราบมีอะไรบ้าง

	0°	30°	45°	60°	90°
Sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
Cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
Tan	0	1/√3	1	√3	หาค่าไม่ได้

สมบัติต่าง ๆ ที่ควรทราบเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

• sin²θ + cos²θ = 1
• tan²θ + 1 = sec²θ
• cot²θ + 1 = cosec²θ
• sin(A) = 1/cosec(A)  และ cosec(A) = 1/sin(A)
• cos(A) = 1/sec(A) และ sec(A) = 1/cos(A)
• tan(A) = 1/cot(A) = sin(A)/cos(A) และ cot(A) = 1/tan(A) = cos(A)/sin(A)

.

กฎของ SIN

a/sinA = b/sinB = c / sinC

โดยกำหนดให้

a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ

A , B , C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม

กฎของ COS

a² = b² + c² – 2bc(cosA)

b² = a² + c² – 2ac(cosB)

c² = a² + b² – 2ab(cosC)

โดยกำหนดให้

a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ

A , B ,C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง

ใช้ในกรณีที่ต้องการแปลงค่ามุมให้เป็นมุมที่เราต้องการได้เพื่อประยุกต์ใช้ในกรณีต่าง ๆ

• cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
• cos(A+B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)
• sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
• sin(A-B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B)
• tan(A+B) = (tan(A)+tan(B)) / (1-tan(A)tan(B))
• tan(A-B) = (tan(A)-tan(B)) / (1+tan(A)tan(B))

มุมทวีคูณ

ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 2 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้

• sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
• cos(2A) = cos²(A) – sin²(A) = 1 – 2sin²(A) = 2cos²(A) – 1
• tan(2A) = (2 tanA) / (1 – tan²(A))

มุมพหุคูณ

ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 3 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้

• sin(3A) = (3)sin(A) –  (4)Sin³(A)
• cos(3A) = (4)cos³(A) –  3cos(A)

ผลคูณ ผลบวก ผลต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลคูณของตรีโกณมิติให้เป็นผลบวก หรือ ผลต่าง ในทางกลับกันก็สามารถแปลงผลบวก หรือ ผลต่าง มาเป็นรูปแบบผลคูณได้เช่นกัน

• 2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)
• 2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)
• 2cosAcosB = cos(A+B) + sin(A-B)
• 2sinAsinB = cos(A–B)-cos(A+B)

การแปลงผลบวกหรือผลต่างเป็นผลคูณ

เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลบวก และ ผลต่าง เป็นผลคูณ เพื่อการประยุกต์ใช้ต่าง ๆ

• sinA + sinB = 2 sin((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
• sinA – sinB = 2 cos((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
• cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
• cosB-cosA = 2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
• หรือ cosA – cosB = -2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)

หมายเหตุ : ระวัง! cosA-cosB จะมีลักษณะที่แตกต่างจากอันอื่น