เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือการเท่ากันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต่างกัน และเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมุม
นิยาม
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ การเท่ากันของอัตราส่วนตรีโกณมิติที่ต่างกันและเป็นจริงสำหรับทุกๆค่าขององศา
เมื่อกำหนด A เป็นมุมแหลม
1. sin A x cosec A = 1
2. cos A x sec A = 1
3. tan A x cot A = 1
4. cos A x tan A = sin A
5. cot A x sin A = cos A
6. sin2A + cos2A = 1
7. sec2A – tan2A = 1
8. cosec2A – cot2A = 1
หรือเขียนได้อีกแบบ
sinA * cosA = 1
cosA * secA = 1
tanA * cotA = 1
cosA * tan A = sinA
sinA * cot A = cosA
sin2 A * cos2A = 1
sec2A – tan2A = 1
cos2A – cot2A = 1
เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ ( 0 < X,Y < 360 )จะได้
sin ( X + Y ) = sinX * cosY + cosX * sinY
sin ( X – Y ) = sinX * cosY – cosX * sinY
cos ( X + Y ) = cosX * cosY – sinX * sinY
cos ( X – Y ) = cosX * cosY + sinX * sinY
tan ( X + Y ) = tanX + tanY / 1 – tanX tanY
tan ( X – Y ) = tanX – tanY / 1 + tanX tanY
sinX + sinY = 2sin [ (X + Y) /2 ] cos [ ( X – Y ) / 2]
sinX – sinY = 2cos [ (X + Y) /2 ] sin [ ( X – Y ) / 2]
cosX + cosY = 2cos [ (X + Y) /2 ] cos [ ( X – Y ) / 2]
cosX – cosY = -2sin [ (X + Y) /2 ] sin [ ( X – Y ) / 2]
tanX + tanY = [ sin ( X + Y) ] / cosX cosY
tanX – tanY = [ sin ( X – Y) ] / cosX cosY
cotX + cotY = [ sin ( X + Y) ] / sinX sinY
cotX – cotY = [ -sin ( X – Y) ] / sinX sinY
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
คำว่า “ตรีโกณมิติ” ตรงกับคำ ภาษาอังกฤษ “Trigonometry” หมายถึง การวัด รูปสามเหลี่ยมได้มีการนำความรู้วิชาตรีโกณมิติไปใช้ในการหาระยะทาง พื้นที่ มุม และทิศทางที่ยากแก่การวัดโดยตรง เช่น การหาความสูงของภูเขา การหาความกว้างของแม่น้ำ เป็นต้น
จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก
เมื่อพิจารณามุม A
BC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a หน่วย
CA เรียกว่า ด้านประชิดมุม A ยาว b หน่วย
AB เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย
เมื่อพิจารณามุม B
AC เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b หน่วย
CB เรียกว่า ด้านประชิดมุม B ยาว a หน่วย
BA เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาว c หน่วย
สรุปได้ว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุม C เป็นมุมฉาก
sine, cosine, tangent
Sine ( sin )
เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB
ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
ไซน์(sine)ของมุมAหรือsin Aคือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA /ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a/c
Cosine ( cos)
เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB
ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
โคไซน์(cosine)ของมุมAหรือcos Aคือ ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ b/c
Tangent ( tan )
เมื่อ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC, CA และ AB
ยาว a, b และ c หน่วยตามลำดับ
แทนเจนต์ (tangent) ของมุม A หรือ tan A คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุม A / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ a/b
ค่ามุมอื่นๆ นอกจาก sin,cos,tan
Cosec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวของด้านตรงข้ามมุมA หรือ เป็นส่วนกลับของ Sin A
Sec A = ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก / ความยาวด้านประชิดมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Cos A
Cot A = ความยาวด้านประชิดมุม A / ความยาวด้านตรงข้ามมุม A หรือ เป็นส่วนกลับของ Tan A
เทคนิคการจำ
Sin A = ข้าม / ฉาก
Cos A = ชิด / ฉาก
Tan A = ข้าม / ชิด
ข้าม คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น ๆ
ชิด คือ ความยาวด้านประชิดมุมนั้น ๆ
ฉาก คือ ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
_____________________________________________________________________________
ตัวอย่างการหาค่า sin,cos,tan,cosec,sec และcot
จำเป็นต้องรู้เรื่อง พีทาโกรัสด้วย ให้ด้านที่ไม่รู้เป็น X
จาก พีทาโกรัส (ด้านตรงข้ามฉาก)2 = (ด้านประชิดมุมฉาก)2 +( ด้านประชิดมุมฉากอีกด้าน)2
252 = 202 + X2
X = 15
ดังนั้น
Sin C = ข้าม / ฉาก = 15/25 = 3/5
Cos C = ชิด / ฉาก = 20/25 = 4/5
Tan C = ข้าม / ชิด = 15/20 = 3/4
Cosec C = ส่วนกลับของ Sin C = 5/3
Sec C = ส่วนกลับของ Cos C = 5/4
Cot C = ส่วนกลับของ Tan C = 4/3
ค่าตรีโกณมิติที่ควรทราบ
หัวข้อที่แล้ว เราได้เรียนรู้หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติด้วยวิธีมือแล้ว คราวนี้เรามาดูตารางสรุปกันได้กว่าว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติพื้นฐานที่เราควรทราบมีอะไรบ้าง
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| Sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| Cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| Tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | หาค่าไม่ได้ |
สมบัติต่าง ๆ ที่ควรทราบเกี่ยวกับตรีโกณมิติ
- sin2θ + cos2θ = 1
- tan2θ + 1 = sec2θ
- cot2θ + 1 = cosec2θ
- sin(A) = 1/cosec(A) และ cosec(A) = 1/sin(A)
- cos(A) = 1/sec(A) และ sec(A) = 1/cos(A)
- tan(A) = 1/cot(A) = sin(A)/cos(A) และ cot(A) = 1/tan(A) = cos(A)/sin(A)
.
กฎของ SIN
a/sinA = b/sinB = c / sinC
โดยกำหนดให้
a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ
A , B , C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
กฎของ COS
a2 = b2 + c2 – 2bc(cosA)
b2 = a2 + c2 – 2ac(cosB)
c2 = a2 + b2 – 2ab(cosC)
โดยกำหนดให้
a , b , c = เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A , B , C ตามลำดับ
A , B ,C = เป็นมุมภายในรูปสามเหลี่ยม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่าง
ใช้ในกรณีที่ต้องการแปลงค่ามุมให้เป็นมุมที่เราต้องการได้เพื่อประยุกต์ใช้ในกรณีต่าง ๆ
- cos(A-B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)
- cos(A+B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)
- sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- sin(A-B) = sin(A)cos(B) – cos(A)sin(B)
- tan(A+B) = (tan(A)+tan(B)) / (1-tan(A)tan(B))
- tan(A-B) = (tan(A)-tan(B)) / (1+tan(A)tan(B))
มุมทวีคูณ
ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 2 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้
- sin(2A) = 2sin(A)cos(A)
- cos(2A) = cos2(A) – sin2(A) = 1 – 2sin2(A) = 2cos2(A) – 1
- tan(2A) = (2 tanA) / (1 – tan2(A))
มุมพหุคูณ
ใช้ในกรณีที่มีค่ามุม 3 เท่า สามารถแยกให้สามารถใช้ประยุกต์ต่อไปได้
- sin(3A) = (3)sin(A) – (4)Sin3(A)
- cos(3A) = (4)cos3(A) – 3cos(A)
ผลคูณ ผลบวก ผลต่าง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลคูณของตรีโกณมิติให้เป็นผลบวก หรือ ผลต่าง ในทางกลับกันก็สามารถแปลงผลบวก หรือ ผลต่าง มาเป็นรูปแบบผลคูณได้เช่นกัน
- 2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A-B)
- 2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)
- 2cosAcosB = cos(A+B) + sin(A-B)
- 2sinAsinB = cos(A–B)-cos(A+B)
การแปลงผลบวกหรือผลต่างเป็นผลคูณ
เป็นสูตรสำหรับการแปลงผลบวก และ ผลต่าง เป็นผลคูณ เพื่อการประยุกต์ใช้ต่าง ๆ
- sinA + sinB = 2 sin((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
- sinA – sinB = 2 cos((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
- cosA + cosB = 2 cos((A+B)/2) × cos((A-B)/2)
- cosB-cosA = 2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
- หรือ cosA – cosB = -2 sin((A+B)/2) × sin((A-B)/2)
หมายเหตุ : ระวัง! cosA-cosB จะมีลักษณะที่แตกต่างจากอันอื่น
