สมการพหุนาม

ทฤษฎีบทหลักมูลของพืชคณิต (Fundamental Theorem of Algebra)  

            ถ้า   p(x)   เป็นพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าศูนย์แล้ว สมการ p(x) = 0

           จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ

            การพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตต้องอาศัยความรู้ระดับสูง จึงจะขอไม่กล่าวถึงในที่นี้   อย่างไรก็ตามผลที่ตามมาของทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต คือ ทฤษฎีบทต่อไปนี้

 

ทฤษฎีบท    ถ้า p(x) เป็นพหุนามดีกรี แล้วสมการ  p(x) = 0

                                   จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ (นับคำตอบที่ซ้ำกันด้วย)

พิสูจน์   ให้  เป็นพหุนามดีกรี 

            โดยทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต จะได้ว่า สมการ p(x) = 0 มีอย่างน้อย 1 คำตอบ สมมุติว่าเป็น c1   นั่นคือ x – c1   เป็นตัวประกอบของ p(x)  ซึ่งทำให้ได้ว่า

            
โดยที่ q1 (x)  เป็นพหุนามดีกรี n – 1

            ถ้า   สมการพหุนาม q1(x)  ก็จะมีคำตอบอย่างน้อย 1 คำตอบเช่นกัน  โดยสมมติให้ชื่อว่า c2  ดังนั้น x – c2    ก็จะเป็นตัวประกอบของq1(x)  ซึ่งทำให้ได้ว่า

            

 โดยที่ q2 (x) เป็นพหุนามดีกรี n – 2

            เมื่อดำเนินการเช่นนี้ไป n ครั้ง จะได้ว่า

          

            แต่  

เป็นพหุนามดีกรี n ซึ่งเท่ากับดีกรีของพหุนาม P(x) จึงได้ว่า r(x) ต้องเป็นค่าคงตัว นั่นคือ r(x) = dเมื่อ 

            ดังนั้น  

            หรือคำตอบทั้งหมดของสมการ   p(x) = 0 คือ 

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ  

            กำหนด p(x) เป็นพหุนามในรูป 

            ถ้า  

   เป็นตัวประกอบของพุหนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง 
และห.ร.ม. ของ m และ k คือ 1 แล้ว m หาร an   ลงตัว และ k หาร a0  ลงตัว

 ทฤษฎีบท   ถ้าจำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหุนาม

                                   

  โดยที่สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนจริงแล้วสังยุค  จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ด้วย

ขอบคุณแหล่งข้อมูล

https://sites.google.com/a/tupr.ac.th/maths-thai-04/unit1/unit1-7?tmpl=%2Fsystem%2Fapp%2Ftemplates%2Fprint%2F&showPrintDialog=1