แคลคูลัสเบื้องต้น ( Calculus )

สรุปสูตรคณิตศาสตร์ – เรื่อง แคลคูลัส
– ลิมิตของฟังก์ชั่น
– อนุพันธ์
– ปฏิยานุพันธ์

ลิมิตของฟังก์ชัน (Limit of a function)

1. ลิมิตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย

หมายถึง x มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ L

สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์ เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง

ลิมิตทางซ้ายของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางซ้าย

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ลิมิตทางขวาของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ a ทางขวา

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ถ้า แล้ว จะกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f ที่ a มีลิมิต

เท่ากับ L เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ถ้า แล้วจะกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f ที่ a ไม่มีลิมิต

ลิมิตข้างเดียว (One-side limit)

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน

กำหนด a, A, B เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน และ , แล้ว

1. เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ

2. 3.

9. เมื่อ n R

10. เมื่อ n I⁺ – {1}

11. ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันโพลิโนเมียลแล้ว จะได้ว่า

หมายเหตุ ฟังก์ชันโพลิโนเมียลคือฟังก์ชันที่มีเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวก เช่น

f(x) = x³ + 5x² – 6x + 3

วิธีหา ค่าลิมิตของฟังก์ชัน

(1). เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x) ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริงค่านั้นคือค่าลิมิต

(2). เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x)แล้วปรากฏผลออกมาในรูป

ให้พิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน ดังนี้

(2.1) ถ้าสามารถแยก f(x) ออกเป็นผลคูณของตัวประกอบได้ ก็ให้แยกแล้วขจัดตัวประกอบร่วมของเศษและส่วนออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิมิต

(2.2) ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ เนื่องจาก f(x) มักอยู่ในรูx

ก็ให้นำคอนจูเกตคูณทั้งเศษและส่วน แล้วขจัดตัวประกอบที่ทำให้ส่วนเป็นศูนย์ออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้น ” คือค่าลิมิต “

ตัวอย่างการหาลิมิตของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง กำหนดให้ f(x = 2x – 3 จงหาค่าของ (2x-3)

(2x-3) = (4-3) = 1

ตัวอย่าง กำหนด f(x) = จงหาค่าของ f(x) f(x) = [ ]

= ( x + 3 ) = 3 + 3 = 6

2. ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

ในทางคณิตศาสตร์ตรวจสอบว่า f จะต่อเนื่องที่ x = a หรือไม่นั้น ต้องตรวจสอบจากคุณสมบัติ 3 ข้อต่อไปนี้

1. F(a) หาค่าได้

2.หาค่าได้

3.= f(a)

การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์

การหาอนุพันธ์ เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ของตัวแปร x คืออัตราที่ค่า y ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x เรียกว่า อนุพันธ์ของ f เทียบกับ x ถ้า x และ y จำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน f ลงจุดเทียบกับ x อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ y เป็นฟังก์เชิงเส้นของ x ซึ่งหมายถึงกราฟของ y จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ y = f(x) = m x + b สำหรับจำนวนจริง m และ b และความชัน m ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ดังสมการ

เมื่อสัญลักษณ์ Δ (เดวตา) แทนคำว่า “การเปลี่ยนแปลง” สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า

y+Δy=f(x+Δx)=m(x+Δx)+b=mx+mΔx+b=y+mΔx

เพราะฉะนั้น จะได้

y+Δy=y+mΔx

ทำให้ได้

Δy=mΔx

ซึ่ง m เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น x ใด ๆ

อัตราส่วนเชิงผลต่าง

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ fที่ x เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ hจะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ

${f(x+h)-f(x) \over h}$

ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton’s difference quotient) อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$