สรุปตรรกศาสตร์เบื้องต้น (Mathematical Logic ) คณิตศาสตร์ ม.4 ม.ปลาย

ตรรกศาสตร์

ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

             ตัวอย่างเช่น          

                                • เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้       → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ

                                • ใครทำจานแตก  → ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

                                • -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก → เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง

นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์ และค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม

	กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ใดๆ
	เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้
	1.	ตัวเชื่อมประพจน์ “และ”
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
	2.	ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
	3.	ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว”
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T)
	4.	ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ”
		การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน
	5.	นิเสธของประพจน์
		นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p
		ตารางแสดงค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
		p q p ∧ q p ∨q p → q p ⇔ q ~p ~q T T F F T F T F T F F F T T T F T F T T T F F T F F T T F T F T

 

ประพจน์ที่สมมูลกัน และประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∧ q	สมมูลกับ	q ∧ p
	p ∨ q	สมมูลกับ	q ∨ p
	(p ∧ q) ∧ r	สมมูลกับ	p ∧ (q ∧ r)
	(p ∨ q) ∨ r	สมมูลกับ	p ∨ (q ∨ r)
	p ∧ (q ∨ r)	สมมูลกับ	(p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
	p ∨ (q ∧ r)	สมมูลกับ	(p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
	p → q	สมมูลกับ	~p ∨ q
	p → q	สมมูลกับ	~q → ~p
	p ⇔ q	สมมูลกับ	(p → q) ∧ (q → p)
	ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้
	~(p ∧ q)	สมมูลกับ	~p ∨ ~q
	~(p ∨ q)	สมมูลกับ	~p ∧ ~q
	~(p → q)	สมมูลกับ	p ∧ ~q
	~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
	~(p ⇔ q)	สมมูลกับ	(p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

สัจนิรันดร์

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้

ข้อสังเกตประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์

ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ทุกกรณีของประพจน์ย่อย
	ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ที่ควรทราบ มีดังนี้
	p ∨ ~q	[ ~p ∧ ( p ∨ q)] → q
	~(p ∧ ~q)	[ ( p → q) ∧ ~q ] → ~p
	(p ∧ q) → p	(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
	(p ∧ q) → q	(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
	p → (p ∨ q)	(p → q) ⇔ (~p ∨ q)
	q → (p ∨ q)	(p → q) ⇔ (~q → ~p)
	[ p ∧ ( p → q)] → q	(~p ∨ q) ⇔ (~q → ~p)
	[ ~p ∧ ( p → q)] → ~q	( p ⇔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)]
ข้อสังเกต	ประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมด้วยตัวเชื่อม ⇔ จะได้ประพจน์ใหม่ซึ่งเป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ ถ้า A และ B สมมูลกันแล้ว A ⇔ B เป็นสัจนิรันดร์

 

ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิด
บทนิยาม        ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธที่ประกอบด้วยตัวแปรทำให้ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วจะได้ประพจน์
เราสามารถเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x ด้วยสัญลักษณ์ P(x) หรือ Q(x) และเขียนแทนประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร x และ y ด้วยสัญลักษณ์ P(x,y) หรือ Q(x,y)
	ตัวอย่างเช่น
	• เขาเป็นคนดี ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “เขา”
	• x > 3 ⇒ เป็นประโยคเปิดที่ประกอบด้วยตัวแปร “x”
ตัวบ่งปริมาณ
ตัวบ่งปริมาณ เป็นตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ
	1. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์”
	ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∀” อ่านว่า”สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
	2. ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึง “สมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์
	ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ “∃” อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”