- ลำดับ(Sequences) หมายถึง ตัวเลขชุดหนึ่งที่เขียนเรียงกันภายใต้กฎเกณฑ์ที่กำหนดให้
- ลักษณะของลำดับมีอยู่ 2 ชนิด คือ ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์
- ชนิดของลำดับที่นิยมใช้กันอยู่ 2 ชนิดคือ
- ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งผลต่างระหว่างสองพจน์ใดที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่เสมอ ค่าคงที่เรียกว่า ผลต่างร่วม (d) เช่น 3, 8, 13,18,… โดยมีผลต่างร่วม d = 8-3 = 5 ต้องตรวจสอบในแต่ละค่าเท่ากันก่อนด้วย จึงจะแน่ใจว่าเป็นลำดับเลขคณิต
- ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับซึ่งอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่เสมอเรียกค่าคงที่ว่า อัตราส่วนร่วม เช่น 2, 4, 8, 16,… โดยมีอัตราส่วนร่วม r = 4/2 = 2 เท่ากันทุกค่า
- อนุกรม(Series) หมายถึง ผลบวกของพจน์ต่าง ๆ ทุกพจน์เรียงตามลำดับของลำดับ สรุปสูตรในตารางข้างล่าง
| ชนิด | สูตรการหาลำดับ : an | สูตรอนุกรม : Sn |
| เลขคณิต | an = a1 + (n-1)d | 1. Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d
2. Sn = (n/2)(a1 + an) |
| เรขาคณิต | an = a1rn-1 |
(r-1)
(1 – r)
(1-r) |
เมื่อ an คือ พจน์ที่ n ของลำดับ a1 คือ พจน์แรกของลำดับ
d คือ ผลต่างร่วม r คือ อัตราส่วนร่วม
Sn คือ อนุกรมที่ n หรือผลบวก n พจน์ของลำดับ
- ลำดับ ( Sequence )
ความหมายของลำดับ
ฟังก์ชันที่โดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกหรือสับเซตของจำนวนเต็มบวกในรูป เรียกว่า ลำดับ
ในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า
ลำดับจำกัด (finite Sequence )
และในกรณีที่ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จะเรียกลำดับดังกล่าวว่า
ลำดับอนันต์ ( infinite sequence )
ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป กล่าวคือ ถ้า เป็นลำดับจะเขียนแทนด้วย
ในกรณีที่ เป็นลำดับอนันต์จะเขียนแทนด้วย
เรียก ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
เรียก ว่า พจน์ที่ หรือ พจน์ทั่วไป ( general term ) ของลำดับ
เช่น ลำดับ 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , 20 มี , , ,
, และ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 3 , 4 , 5 , 6 , 7
วิธีทำ จากลำดับจำกัด 3 , 4 , 5 , 6 , 7
จะได้ a1 = 3 = 1 + 2
a2 = 4 = 2 + 2
a3 = 5 = 3 + 2
a4 = 6 = 4 + 2
a5 = 7 = 5 + 2
ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ an = n + 2 เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
ตัวอย่างที่ 2 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด 2 , 4 , 8 , 16 , 32
วิธีทำ จากลำดับจำกัด 2 , 4 , 8 , 16 , 32
จะได้ a1 = 2 = 21
a2 = 4 = 22
a3 = 8 = 23
a4 = 16 = 24
a5 = 32 = 25
ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้ คือ an = 2n เมื่อ n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5
- ลำดับเลขคณิต ( arithmetic Sequence )
บทนิยาม ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ ลบพจน์ที่ เป็นค่าคงตัวที่
เท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก และ เรียกค่าคงตัวนี้ว่า ผลต่างร่วม (common difference )
เขียนแทนด้วย
นั่นคือ
และมี เมื่อ คือ พจน์ที่ 1 และ คือ ผลต่างร่วม
ตัวอย่าง 1 จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต 2, 5, 8, 11, 14, …
วิธีทำ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 2 , d = 3
a6 = a5 + d = 14 + 3 = 17
a7 = a6 + d = 17 + 3 = 20
a8 = a7 + d = 20 + 3 = 23
a9 = a8 + d = 23 + 3 = 26
ดังนั้นสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิตที่กำหนดให้คือ 17, 20, 23, 26
ตัวอย่าง 2 จงหาพจน์ที่ 30 ของลำดับเลขคณิต 1, 8, 15, 22, …
วิธีทำ 1, 8, 15, 22, … เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 1 , d = 7
จาก an = a1 + (n-1)d
จะได้ an = 1 + (30-1)(7)
an = 1 + (29)(7)
an = 1 + 203
an = 204
ตัวอย่าง 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 8, 3, -2, -7, …
วิธีทำ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 8 , d = -5
จาก an = a1 + (n-1)d
an = 8 + (n-1)(-5)
an = 8 -5n + 5
an = -5n + 13
ตัวอย่าง 4 ถ้า 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เป็นเก้าพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหา f
วิธีทำ เป็นลำดับเลขคณิตที่มี a1 = 3 , a9 = 35
จาก an = a1 + (n-1)d
a9 = a1 + 8d
35 = 3 + 8d
32 = 8d
d = 4
หา f ซึ่งเป็นพจน์ที่ 7 ของลำดับเลขคณิตจาก an = a1 + (n-1)d
a7 = a1 + 6d
a7 = 3 + 6(4)
a7 = 3 + 24
a7 = 27
ดังนั้น f มีค่าเท่ากับ 27
ตัวอย่าง 5 จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี a5 = 19 และ a20 = 64
วิธีทำ จาก an = a1 + (n-1)d
a5 = a1 + 4d และ a20 = a1 + 19d
จะได้ 19 = a1 + 4d ……….(1)
64 = a1 + 19d ……….(2)
(2) – (1) 45 = 15d
d = 3
แทนค่า d = 3 ในสมการ (1)
a1 + 4d = 19
a1 + 4(3) = 19
a1 = 19 – 12
a1 = 7
ดังนั้นพจน์แรกของลำดับเลขคณิตหรือ a1 = 7
ตัวอย่าง 6 จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง 6 และ 20 ที่ทำให้จำนวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์เรียงกันใน
ลำดับเลขคณิต
วิธีทำ ให้ a เป็นจำนวนที่ต้องการ จะได้ลำดับเลขคณิตเป็น 6, a, 20
จากสมบัติของลำดับเลขคณิตจะได้ว่า a – 6 = 20 – a
a + a = 20 + 6
2a = 26
a = 13
ตัวอย่าง 7 ถ้า 8, a, b, c, 44 เป็น 5 พจน์ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหา a, b, c
วิธีทำ จาก an +1 = an + d
จะได้ a = 8 + d
b = a + d = (8 + d) + d = 8 + 2d
c = b + d = (8 + 2d) + d = 8 + 3d
44 = c + d = (8 + 3d) + d = 8 + 4d
8 + 4d = 44
4d = 44 – 8
4d = 36
d = 9
ดังนั้น a = 8 + 9 = 17
b = 17 + 9 = 26
c = 26 + 9 = 35
ตัวอย่าง 8 จงหาว่าระหว่าง 1000 กับ 2000 มีจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัวทั้งหมดกี่จำนวน
วิธีทำ จำนวนแรกที่มากกว่า 1000 และ 7 หารลงตัวคือ 1001
จำนวนสุดท้ายที่น้อยกว่า 2000 และ 7 หารลงตัวคือ 1995
ลำดับเลขคณิตที่เกิดขึ้นคือ 1001, 1008, 1015, …, 1995 มี a1 = 1001 , d = 7 , an = 1995
จาก an = a1 + (n-1)d
1995 = 1001 + (n-1)7
1995 – 1001 = (n-1)7
994 = (n-1)7
142 = n-1
n = 142 + 1
n = 143
ดังนั้นระหว่าง 1000 กับ 2000 มีจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัวทั้งหมด 143 จำนวน
แบบฝึกหัดที่ 1
- ให้นักเรียนช่วยกันพิจารณาลำดับต่อไปนี้ ว่าลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต และลำดับใดไม่เป็นลำดับเลข-คณิต พร้อมให้เหตุผลประกอบ
1) 1 , 2 , 3 , … , n , … =………………… 2) 1 , 3 , 9 , … , 3n – 1 , …=……………………
3) –5 , 25 , -125 , … , (-5)n , …=………………… 4) 2 , 4 , 6 , … , 2n , … =…………………
5) 1 , , , … , , … =………………… 6) 1 , , , , … =…………………
7) , 3 , 6 , 12 , … =………………… 8) 3 , 8 , 13 , 18 , … =…………………
