การแจกแจงความถี่ คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

การแจกแจงความถี่

การแจกแจงความถี่เป็นวิธีการจัดเตรียมข้อมูลดิบให้เป็นหมวดหมู่เพื่อความสะดวกในการนำไปวิเคราะห์ ซึ่งสิ่งที่ควรคำนึงถึงในการแจกแจงความถี่ คือ

1) ถ้าข้อมูลดิบมีจำนวนน้อย ให้เรียงข้อมูลจากมากไปน้อย หรือเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก ซึ่งข้อมูลที่เรียงลำดับแล้วเรียกว่า Ungrouped Data การวิเคราะห์ข้อมูลชนิดนี้จะได้ ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และการกระจายของข้อมูล

2) ถ้าข้อมูลดิบมีจำนวนมาก (ข้อมูลตั้งแต่ 30 จำนวนขึ้นไป) ให้ทำการแจกแจงความถี่โดยตาราง ซึ่งเรียกว่า Grouped Data

2.1 การสร้างตารางการแจกแจงความถี่

การแจกแจงความถี่ทำได้ 2 ดังนี้

1)  การแจกแจงความถี่ของลักษณะที่สนใจที่เป็นไปได้ทั้งหมด
2)  การแจกแจงความถี่สำหลับค่าในแต่ละช่วงของลักษณะที่สนใจ
การแจกแจงความถี่ของลักษณะที่สนใจที่เป็นไปได้ทั้งหมด
การแจงแจกความถี่แบบนี้จะใช้กับข้อมูลที่จำนวนลักษณะที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีไม่มากนัก เช่น จำแนกตามเพศ คือ เพศหญิง ชาย จำแนกตามความคิดเห็น เห็นด้วย ไม่เห็นด้วย ตัวอย่างที่ 2.1  จากการสำรวจคนไข้ที่เข้ามารับการรักษาที่โรงพยาบาลแห่งหนึ่งในเดือนมกราคม 2549 โดยแจกแจงความถี่ (จำนวนคนไข้)ตามเพศ ได้ดังนี้

การแจกแจงความถี่สำหรับค่าในแต่ละช่วงของลักษณะที่สนใจ
ในกรณีที่ค่าของข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดของลักษณะที่สนใจมีจำนวนมากตัวอย่าง 2.2  ถ้าเลือกชายมา 100 คนสอบถามความสูงแล้วจัดทำเป็นช่วงๆได้5ช่วงหรือ 5 ช่วง ดังนี้

ช่วงจำนวนของแต่ละชั้น เช่น 135-144,145-154,…,175-184  เรียกว่าขีดจำกัดชั้น
ค่าต่ำสุดของแต่ละชั้น เช่น 135-145,…,175                           เรียกว่าขีดจำกัดล่าง
และค่าสูงสุดของแต่ละชั้น เช่น 144,154,…,184                     เรียกว่าขีดจำกัดบน
โดยทั่วไปจะกำหมดค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของแต่ละชั้นให้มีทศนิยมมากกว่าของข้อมูลดังนี้ตัวอย่าง 2.2. ถ้านักศึกษาชายคนหนึ่งสูง 144.5 เซนติเมตร ก็ไม่สามารถจัดให้นักศึกษาอยู่ในชั้นใดได้ นอกจากนั้นการกำหมดให้มีจำนวนหลังจุดทศนิยมมากกว่าค่าของของข้อมูลทำให้ข้อมูลทั้งหมดต่อเนื่องกัน และเรียกช่วงในแต่ละชั้นว่า ขอบเขตจำกัดดังนั้นจากตัวอย่างที่ 2.2  ขอบเขตจำกัดชั้นสามารถกำหมดได้ ดังนี้

ค่าต่ำสุดของแต่ละชั้นคือ 134.5,144.5,…,174.5 เรียกว่าขอบเขตจำกัดล่างและค่าสูงสุดของแต่ชั้นคือ 144.5,154.5,….,1184.5 ว่าขอบเขยจำกัดบนและความกว้างของชั้นคือ 144.5-134.5=10
ตารางแจกแจงความถี่เป็นตารางที่อ่านเข้าง่าย แต่ก็มีการเสียรายละเอียดบางอย่างเกี่ยวข้อมูล เช่นมีนักศึกษาที่มีความสูงในช่วง 144.5- 154.5 เซนติเมตร อยู่ 18คน แต่จะไม่ทราบว่านักศึกษา 18 คน คนนี้มีส่วนสูงจริงๆ เท่าไหร่อาจจะเท่ากันหมดคือ 145 เซนติเมตรก็ได้ ปัญหานี้อาจแก้ไขด้ายโดยลดความกว้างของชั้นให้แคบลง ผูสร้างตารางแจกแจงความถี่จะต้องคำนึงถึงความเหมาสมในการกำหมดความกว้างของชั้นด้วย

2.2 ขั้นตอนการสร้างตารางแจกแจงความถี่

ขั้นตอนการสร้างตารางแจกแจงความถี่

การสร้างตารางแจกแจงความถี่มีขั้นตอน ดังนี้
1).  หาค่าพิสัยของข้อมูลโดยที่ค่าพิสัย(Range)คือผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดดังนั้น

พิสัย = ค่าสูงสุด – ค่าต่ำสุด

ถ้ามีข้อมูล N ค่า  คือ X1 ,X2,…XNและให้ Xmax = ค่าสูงสุดของข้อมูล = max(X1 ,X2,…XN)
Xmin  = ค่าต่ำสุดของข้อมูล = min (X1 ,X2,…XN)
ดังนั้น พิสัย = R = Xmax – Xmin

2)กำหมดจำนวนชั้น (k)
โดยกำหนดจำนวนชั้นเป็น 5-20  ชั้น  ถ้าข้อมูลมีการกระจายมากและมีจำนวนข้อมูลไม่มากควรให้มีจำนวนชั้นน้อยๆ เพื่อป้องกันไม่ให้มีชั้นที่มีชั้นที่มีค่าความถี่เป็นศูนย์ เนื่องจากไม่มีข้อมูลค่าใดที่ตกอยู่ในชั้นๆเลยในกรณีนี้ที่สร้างไม่ทราบว่าควรกำหมดให้ตารางแจกแจงความถี่มีกี่ชั้นส่ามารถใช้สูตรในการคำนวณชั้นได้ ด้งนี้

K = 1+ 3.3 log N

3).คำนวณหาความกว้างของชั้นหรืออันตรภาคชั้น (Class Interval: I)

I = ความกว้างของชั้น (อันตรภาคชั้น) =   พิสัย                                                              จำนวนชั้น =R/k

ถ้าค่า I เป็นเลขไม่ลงตัว จะปัดให้เป็นจำนวนเต็ม(ไม่ว่าเศษจะมีค่าต่ำกว่าหรือมากกว่า 0.5)โดยทั่วไปมักกำหมดให้ความกว้างของแต่ละชั้นเท่ากันหมด แต่ละในทางปฏิบัติบางครั้งอาจจะให้ความกว้างของแต่ละชั้นไม่เท่ากัน หรืออาจกำหมดให้เป็นชั้นเปิดก็ได้หรืออาจจะกำหมดให้ความกว้างของชั้นเป็นค่าที่ทำให้ค่ากึ่งกลางชั้น มีค่าเท่ากับจริงของข้อมูล

ค่ากึ่งกลางชั้น = (ขอบเขตกำจัดบน + ขอบเขตจำกัดล่าง )/2 = (ขีดจำกัดบน + ขีดจำกัดล่าง )/2

4).คำนวณหาขีดจำกัดชั้น
โดยจะกำหมดให้ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก (ชั้นที่มีค่าต่ำสุด) ครอบคลุมข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดและให้ขีดจำกัดบนของชั้นสุดท้าย (ชั้นที่มีค่าสูงสุด)ครอบคลุมข้อมูลที่มีค่าสูงสุด หรืออาจใช้สูตรต่อไปนี้

ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก = ค่าต่ำ – (Ik – R)/2

แล้วปัดให้มีลักษณะเหมือนข้อมูลจริง เช่น ข้อมูลมีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมสองหลักจะปิดเศษให้ขีดจำกัดชั้นเป็นเลขที่มีจำนวนจุดทศนิยมสอง 2 เช่นกัน
5).คำนวณหาขอบเขตจำกัดชั้น (Class Boundaries)
การหาขอบเขตชั้นนั้นจะกำหนดให้ขอบเขตชั้นมีจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมมากกว่าของข้อมูลจริงอยู่ 1 หลักเสมอ เช่น ถ้าข้อมูลจริงเป็นเลขจำนวนเต็ม ขอบเขตจำกัดชั้นจะมีจำนวนจุดทศนิยม 1 หลัก ในทางปฏิบัติ เราสามารถหาค่าขอบเขตชั้นได้ ดังนี้

ขอบเขตจำกัดชั้น = (ขีดจำกัดบนของชั้น + ขีดจำกัดล่างของชั้นถัดไป)/2

6). นับจำนวนค่าของข้อมูล (ความถี่) ในแต่ละชั้น
หลังจากสร้างขอบเขตจำกัดชั้นแล้ว จึงตรวจสอบว่าข้อมูลค่าใดอยู่ในชั้นได้บ้าง แล้วนับจำนวนข้อมูลในแต่ละชั้นเรียกว่า ความถี่ของชั้น

2.3 ฮิสโตแกรม (Histogram)

ฮิสโตแกรม (Histogram) 

กราฟแท่งแบบเฉพาะ โดยแกนตั้งจะเป็นตัวเลขแสดง “ ความถี่ ” และมีแกนนอนเป็นข้อมูลของคุณสมบัติของสิ่งที่เราสนใจ โดยเรียงลำดับจากน้อย ที่ใช้ดูความแปรปรวนของกระบวนการ โดยการสังเกตรูปร่างของฮิสโตแกรมที่สร้างขึ้นจากข้อมูลที่ได้มาโดยการสุ่มตัวอย่างมีประโยชน์ในการที่จะทำให้ทราบถึงการแจกแจงของสิ่งที่เราต้องการวิเคราะห์ ประโยชน์ประการสำคัญของการใช้ฮีสโตแกรม คือการใช้เพื่อวิเคราะห์ความถี่ของข้อมูลแล้วตัดสินใจว่า การแจกแจงหรือการกระจายข้อมูลแบบใด เพื่อใช้ตรวจสอบคุณสมบัติของข้อมูล ตลอดจนการประมาณการลักษณะคุณภาพที่ได้จากการผลิตแผนภูมิฮิสโตแกรม แผนภูมินี้จะชี้ให้เห็นถึงความเบี่ยงเบนของข้อมูลว่ามีลักษณะการกระจายตัวของข้อมูลเป็นแบบระฆังคว่ำ (Normal Distribution) หรือไม่ หรือมีความเบี่ยงเบนไปทางบวกหรือลบ หรือมีลักษณะรูปแบบแบบฟันเลื่อย หรือแบบหน้าผา เป็นต้น ทำให้มองเห็นว่าความเบี่ยงเบนที่เกิดขึ้นจาก Normal Distribution ควรจะแก้ไขอย่างไร

เมื่อไรจึงจะใช้แผนภาพฮิสโตแกรม
                •  เมื่อต้องการตรวจสอบความผิดปกติ โดยดูการกระจายของกระบวนการทำงาน
•  เมื่อต้องการเปรียบเทียบข้อมูลกับเกณฑ์ที่กำหนด หรือค่าสูงสุด-ต่ำสุด
•  เมื่อต้องการตรวจสอบสมรรถนะของกระบวนการทำงาน (Process Capability)
•  เมื่อต้องการวิเคราะห์หาสาเหตุรากเหง้าของปัญหา (Root Cause)
•  เมื่อต้องการติดตามการเปลี่ยนแปลงของกระบวนการในระยะยาว
•  เมื่อข้อมูลมีจำนวนมากๆ

วิธีการเขียนฮิสโตแกรม (Histogram)
                •  เก็บรวบรวมข้อมูล (ควรรวบรวมประมาณ 100 ข้อมูล)
•  หาค่าสูงสุด (L) และค่าต่ำสุด (S) ของข้อมูลทั้งหมด
•  หาค่าพิสัยของข้อมูล (R-Range)

สูตร R = L – S

•  หาค่าจำนวนชั้น (K)

สูตร K = Square root of (n) โดย n คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

•  หาค่าความกว้างช่วงชั้น (H-Class interval)

สูตร H = R/K หรือ พิสัย / จำนวนชั้น

•  หาขอบเขตของชั้น (Boundary Value)

ขีดจำกัดล่างของชั้นแรก = S – หน่วยของการวัด / 2

ขีดจำกัดบนของชั้นแรก = ขีดจำกัดล่างชั้นแรก + H

•  หาขีดจำกัดล่างและขีดจำกัดบนของชั้นถัดไป

•  หาค่ากึ่งกลางของแต่ละชั้น (Median of class interval)

ค่ากึ่งกลางชั้นแรก = ผลรวมค่าขีดจำกัดชั้นแรก / 2

ค่ากึ่งกลางชั้นสอง = ผลรวมค่าขีดจำกัดชั้นสอง / 2

•  บันทึกข้อมูลในรูปตารางแสดงความถี่
•  สร้างกราฟฮิสโตแกรม