ความน่าจะเป็น ม.6 : กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธี ในการจัดชุดของสิ่งต่าง ๆ เช่น การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้นถ้าเข้าใจกฎเกณฑ์บางข้อซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

ตัวอย่าง นายดำมีเสื้อ  2  ตัว  สีต่างกัน  และกางเกง  3  ตัว  สีต่างกัน  จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่นายดำสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กัน

วิธีคิด       นายดำมีวิธีเลือกสวมเสื้อได้  2   วิธี

              เลือกสวมกางเกงได้           3   วิธี

              ดังนั้น  นายดำมีวิธีสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันได้  (2)(3)  =  6  วิธี

อาจใช้แผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบได้ดังนี้

จากแผนภาพต้นไม้  จะได้ว่าจำนวนวิธีทั้งหมดที่นายดำเลือกสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันเท่ากับ  6  วิธี

หลักการนับ

หลักการบวก

ถ้าการทำงานหนึ่งมีวิธีการทำงาน k วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่

การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีทำ n1  วิธี

การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n2  วิธี

                :                               :

การทำงานวิธีที่  k มีวิธีทำ nk  วิธี

และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ n1+n2+…+nk วิธี

ตัวอย่าง นักเรียน 3 คนต้องการเข้าและออกห้องห้องหนึ่งซึ่งมีประตู 3 บาน โดยนักเรียนคนที่ 1 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานเดียว นักเรียนคนที่ 2 เข้าและออกโดยไม่ใช้ประตูบานเดิม และนักเรียนคนที่ 3 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานใดก็ได้ จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คนเข้าและออกห้องนี้

วิธีทำ    นักเรียนคนที่ 1 มีวิธีเข้าและออกได้ 3 วิธี

นักเรียนคนที่ 2 มีวิธีเข้าและออกได้ 6 วิธี

นักเรียนคนที่ 3 มีวิธีเข้าและออกได้ 9 วิธี

ดังนั้น วิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คนเข้าและออกห้องนี้มีทั้งหมด 3+6+9 = 18 วิธี

หลักการคูณ

ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยการทำงาน k ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ k ตามลำดับ โดยที่

การทำงานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทำ n1 วิธี

การทำงานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทำ n2 วิธี

การทำงานขั้นตอนที่ 3 มีวิธีทำ n3 วิธี

:                                      :

การทำงานขั้นตอนที่ k มีวิธีทำ nk วิธี

และวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1n2n3…nk วิธี

ตัวอย่าง บริษัทผลิตเสื้อผ้าสำเร็จรูปแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6 แบบ กางเกง 5 แบบและเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจัดแต่งตัวให้กับหุ่นเพื่อนำไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชุดต่างๆกันได้กี่ชุด

วิธีทำ  ในการแต่งตัวให้กับหุ่นมี 3 ขั้นตอน คือ

           ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อได้ 6 วิธี

           ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงได้ 5 วิธี

           ขั้นตอนที่ 3 เลือกเนคไทได้ 4 วิธี

ดังนั้น วิธีการแต่งตัวให้กับหุ่นทำได้ทั้งหมด 6×5×4 = 120 วิธี

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

             ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธี ในการจัดชุดของสิ่งต่าง ๆ เช่น การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้นถ้าเข้าใจกฎเกณฑ์บางข้อซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

ตัวอย่าง    นายดำมีเสื้อ 2 ตัว สีต่างกัน และกางเกง 3 ตัว สีต่างกัน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่นายดำสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กัน
  วิธีคิด    นายดำมีวิธีเลือกสวมเสื้อได้ 2 วิธี
เลือกสวมกางเกงได้ 3 วิธี
 ดังนั้น     นายดำมีวิธีสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันได้ (2)(3) = 6 วิธี
อาจใช้แผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบได้ดังนี้

จากแผนภาพต้นไม้ จะได้ว่าจำนวนวิธีทั้งหมดที่นายดำเลือกสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันเท่ากับ 6 วิธี

ขอบคุณ แหล่งข้อมูล https://sites.google.com/site/krisana00000000009/kd-kar-nab-beuxng-tn