จำนวนจริง
คือจำนวนที่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุดเส้นจำนวน ได้ คำว่า จำนวนจริง นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกเซตนี้ออกจากจำนวนจินตภาพ จำนวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาคณิตวิเคราะห์จำนวนจริง (real analysis)
คุณสมบัติและการนำไปใช้
มีหลักเกณฑ์ในการแบ่งจำนวนจริงอยู่หลายเกณฑ์ เช่น จำนวนตรรกยะ หรือ จำนวนอตรรกยะ; จำนวนพีชคณิต (algebraic number) หรือ จำนวนอดิศัย; และ จำนวนบวก จำนวนลบ หรือ ศูนย์
นักคณิตศาสตร์ใช้สัญลักษณ์ R (อักษร R ในแบบอักษร blackboard bold) แทนเซตของจำนวนจริง สัญกรณ์ Rn แทนปริภูมิ n มิติของจำนวนจริง เช่น สมาชิกตัวหนึ่งจาก R3 ประกอบด้วยจำนวนจริงสามจำนวนและระบุตำแหน่งบนปริภูมิสามมิติ
บทที่ 1 ระบบจำนวน (Number Systems)
|
1. วิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข การผลิตหรือสร้างเครื่องคำนวณได้แนวคิดมาจาก 1. การจดและนับตัวเลขแบบง่ายๆ ไม่มีการใช้ตัวเลข ชาวกรีกใช้การนับนิ้ว หรือลูกหินแทน 2. การใช้รูปภาพแทนตัวเลขในสมัยอิยิปต์ (egypt) เช่น  3. ชาวบาบิโลเนีย ใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ของตัวเลข โดยระบบของจำนวนเลข มีสัญลักษณ์ 2 ตัว คือ  4. สมัยโรมันเริ่มมีการใช้เลขโรมัน ปัจจุบันก็ยังมีใช้อยู่ เช่น  ตัวอย่างการแทนค่าด้วยเลขโรมัน 
6. ลูกคิดเป็นเครื่องมือที่ช่วยในการคำนวณ ซึ่งคิดค้นโดยชาวจีนเมื่อประมาณ 3,000 ปีมาแล้ว ซึ่งคือพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ระบบดิจิตอลนั่นเอง 7. ค.ศ. 1614 John Napier นักคณิตศาสตร์ชาวสกอต ได้สร้างตาราง Logarithms ฐาน e 8. ค.ศ. 1622 William Ougthred นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ใช้แนวความคิด John คิดค้นทำ Slide Rule ขึ้นช่วยในการคูณ 9. ค.ศ. 1642 Blaise Pascal นักปรัชญาและวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้สร้างเครื่องมือในการบวกเลขเครื่องแรกโดยใช้ฟันเฟืองเข้าช่วยในการทด 2. โครงสร้างของระบบจำนวน
 3. จำนวนจริง (Real Numbers) ในขณะนี้มีจำนวนเพียง 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ ผลรวมหรือผลผนวกของเซตทั้งสองนี้เรียกว่า เซตของจำนวนจริง เขียนแทนด้วย R และคุณสมบัติต่างๆ ดังนี้ 1. คุณสมบัติปิด (Closure proerties) ถ้า a, b ∊ R 1.1 การบวก a+b ∊ R 1.2 การคูณ a.b ∊ R 2. คุณสมบัติการสลับที่ (Commutative properties) ถ้า a, b ∊ R 2.1 การบวก a+b = b+a 2.2 การคูณ a.b = b.a 3. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative properties) ถ้า a, b, c ∊ R 3.1 การบวก a+(b+c) = (a+ b)+c 3.2 การคูณ a. (b .c ) = (a . b) . c 4. คุณสมบัติการแจกแจง (Distributive properties) ถ้า a, b, c ∊ R 4.1 การบวก a+(b . c) = (a+ b) . (a+c) 4.2 การคูณ a. (b + c ) = (a . b) + (a . c) 5. คุณสมบัติการมีเอกลักษณ์ (Identity properties) ถ้า a ∊ R 5.1 เอกลักษณ์ของการบวก คือ 0 เนื่องจาก a + 0 = a 5.2 เอกลักษณ์ของการคูณ คือ 1 เนื่องจาก a . 1 = a 6. คุณสมบัติการมีจำนวนผกผัน (Inverse) 6.1 การบวก ถ้าให้ a ∊ R จะมี -a ∊ R จะทำให้ a + (-a) = (-a) + a = 0 และเรียก -a ว่า เป็นจำนวนผกผัน 6.2 การคูณ ถ้าให้ a ∊ R ที่ a ≠ 0 จะมี 1/a ซึ่งทำให้ a . 1/a = 1/a . a = 1 และเรียก 1/a ว่าเป็นจำนวนผกผันของการคูณของ a 5. จำนวนตรรกยะ (Relation Numbers) จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป a/b โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 และเรียก a/b ว่า เศษส่วน (Fraction) เรียก a ว่า ตัวเศษ (Numerator) และเรียก b ว่า ตัวส่วน (Denominator) นั่นคือจำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยด้วยจำนวนเต็ม และจำนวนเศษส่วน เช่น -7 , 3/5 , 1/2 , 20 เป็นต้น เซตของจำนวนตรรกยะ จะมีคุณสมบัติภายใต้การบวก และการคูณ เช่นเดียวกับเซตของจำนวนเต็ม กล่าวคือ มีคุณสมบัติปิด สลับที่ จัดหมู่ แจกแจง การมีเอกลักษณ์ จำนวนผกผันของการบวก จำนวนผกผันของการคูณ ตัวอย่าง 1.1 จำนวนผกผันของการคูณ 1/a คือ a เพราะว่า 1/a . a = 1 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ เนื่องจากจำนวนตรรกยะอาจเป็นทั้งจำนวนเต็ม และเศษส่วน ดังนั้นจำนวนตรรกยะอาจเขียนได้ในเทอมของทศนิยม และอาจอยู่ในรูปทศนิยมรู้จบ หรือทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำกันเป็นชุดก็ได้ เช่น 2/3 = 0.6 (ทศนิยมรู้จบ), 2/3 = 1.66.. (ทศนิยมไม่รู้จบ)
จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนได้ เช่น a/b ; b ≠ 0 เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็ม รวมถึงทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ รากที่ถอดได้ไม่ลงตัว หรือเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำแนกได้ดังนี้ 1. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น 1.1707168… 0.4455235… 2. จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์ และไม่สามารถหาค่าให้เป็นจำนวนตรรกยะได้ เช่น  3. จำนวน 
7. จำนวนเต็ม (Integer Numbers) จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่เป็นเลขไม่มีเศษ เช่น -5 , 0 , 3 เป็นต้น สัญลักษณ์ I แทนจำนวนเต็ม เช่น … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … I– แทนจำนวนเต็มลบ เช่น -1 , -2 , -3 , -4 , … I+ แทนจำนวนเต็มบวก เช่น 1, 2 , 3 , 4 ,… N แทนจำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนนับ เช่น 1, 2 , 3 , 4 ,…
8. จำนวนเต็มบวก และศูนย์ (Whole Numbers) ให้ w แทนเซตของจำนวนเต็มบวก และศูนย์ ดังนั้น w = { 0, 1, 2, 3, …} สำหรับคุณสมบัติการบวกและการคูณ จะเป็นเช่นเดียวกับจำนวนนับ แต่มีจำนวนศูนย์ โดยมีคุณสมบัติดังนี้ 1. ให้ a ∊ w a + 0 = 0 + a = a 2. ให้ a ∊ w a – 0 = a 3. ให้ a ∊ w 0/a = 0 0/a ไม่สามารถหาคำตอบได้ ซึ่งนั่น ให้นิยามไม่ได้ เพราะโดยธรรมชาติไม่มีการหารจำนวนใดๆด้วยศูนย์ ซึ่งเป็นจำนวน จำนวนหนึ่ง ให้ 0/0 = r จะได้ r .0 = 0 ดังนั้น r จะเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ทั้งนั้นหมายความว่า 0/0 ไม่ค่าไม่แน่นอน ผลหารในกรณีนี้ ไม่เป็นที่ยอมรับในคณิตศาสตร์ จึงไม่มีการหาร 0 ด้วย 0 และ w ก็มีคุณสมบัติเช่นเดียวกับเซตจำนวนนับ
9. จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนเต็มบวก (Counting or Natural or Positive Integers) จำนวนนับ เรียกอีกอย่างว่า จำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนเต็มบวก มนุษย์จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติไปใช้ในชีวิตประจำวันมากที่สุด ในการแลกเปลี่ยน ซื้อ – ขาย หรือการนับ และมนุษย์จะนับเลขเริ่มจาก 1, 2, 3, 4, 5, … ไปเรื่อยๆ เสมอไม่นิยมนับเลข -1, -2, -3, -4 นอกจาก นำมาใช้ในบางกรณีเท่านั้น ดังนั้น เราจึงละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า จำนวนนับ คือ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็มบวก ให้ N แทนเซตของจำนวนนับ สมาชิกของ N คือ 1, 2, 3, 4, … นั่นคือ N = {1, 2, 3, 4, …} 10. เส้นจำนวน (Number Line) ลากเส้นตรงเส้นหนึ่ง เกิดจากจุดหลายๆ จุดมาเรียงต่อกันไปตามแนวตั้ง หรือแนวนอนก็ได้ โดยเริ่มจากจุดกำเนิด (Origin) ซึ่งถือว่าเป็นจุดเดียวกับจำนวนจริง 0 ดังนั้น บนเส้นตรงให้มีจุดนี้แทนจำนวนศูนย์จุด บนเส้นตรงขวามือของ 0 เป็นจำนวนเต็มบวกแทนด้วย 1, 2, 3, 4, … โดยมีระยะห่างจาก 0 เป็น 1 หน่วย , 2 หน่วย , 3 หน่วย , … ตามลำดับ และเลือกจุดบนเส้นจำนวนทางซ้ายมือของ 0 เป็นจำนวนเต็มลบแทนด้วย -1, -2 , -3 ,… โดยมีระยะห่างจาก 0 เป็น 1 หน่วย , 2 หน่วย , 3 หน่วย , … ตามลำดับ ดังรูป 
ถ้ากำหนดจำนวนจริงจำนวนหนึ่งมาให้ จะมีจุดบนเส้นตรงนี้เพียงจุดเดียวเท่านั้นที่แทนจำนวนนั้นได้ เช่น 1/2 จะแทนที่ด้วยจุดที่อยู่ทางขวามือของ 0 ห่างจาก 0 เป็นระยะทาง 1/2 หน่วย – ในทางตรงกันข้ามเมื่อกำหนดจุดๆหนึ่ง บนเส้นตรงมาให้ ก็จะมีจำนวนจริงจำนวนเดียวเท่านั้นแทนที่ด้วยจุดที่กำหนดให้ กล่าวคือ สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกในเซตของจุดบนเส้นตรง และเรียกเส้นตรงนี้ว่าเส้นจำนวน จากเส้นจำนวนเราสามารถเห็นภาพของจำนวนต่างๆ เหล่านั้นโดยชัดเจนว่าจำนวนใดมากหรือน้อยกว่ากัน โดยให้ถือหลักว่าจำนวนที่อยู่ทางขวามือ ย่อมมีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือ เช่น -2 มีค่าน้อยกว่า -1 เพราะว่า -1 อยู่ทางขวามือของ -2 a กับ –a อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะทางเท่ากัน แต่อยู่คนละข้างของ 0 ดังนั้น มีเพียงจำนวนเดียวเท่านั้นเป็นจำนวนตรงข้ามของจำนวนจริง a ถ้า a เป็นจำนวนบวก –a จะเป็นจำนวนลบ และถ้า a เป็นจำนวนลบ –a จะเป็นจำนวนบวก
ตัวอย่าง 1.2 ถ้า a = 3 แล้ว -a = -3 ถ้า a = -5 แล้ว -a = -(-5) แต่จำนวนตรงข้ามของ -5 คือ 5 ดังนั้นจะได้ว่า -(-5) = 5 |
