จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ
จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265… |
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น |
|
|
เขียนแทนด้วย 0.5000… |
|
|
เขียนแทนด้วย 0.2000… |
|
|
|
|
|
|
• ระบบจำนวนตรรกยะ |
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ |
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น |
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม |
|
|
|
• ระบบจำนวนเต็ม |
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน |
|
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่
I – = {…, -4, -3, -2, -1}
เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ |
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0) |
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
I+ = {1, 2, 3, 4, …}
เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก |
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I+ = {1, 2, 3, 4, …} |
|
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน |
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ |
|
x2 = -1 |
∴ x = √-1 = i |
|
x2 = -2 |
∴ x = √-2 = √2 i |
|
x2 = -3 |
∴ x = √-3 = √3 i |
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i |
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers) |
สมบัติของจำนวนจริง
|
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
1. สมบัติการสะท้อน a = a |
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a |
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c |
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c |
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc |
|
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง |
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง |
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c |
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c |
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 |
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก |
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a |
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก |
|
สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง |
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ |
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง |
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba |
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c |
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 |
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ |
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 |
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 |
6. สมบัติการแจกแจง |
a( b + c ) = ab + ac |
( b + c )a = ba + ca |
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ |
|
|
ทฤษฎีบทที่ 1 |
กฎการตัดออกสำหรับการบวก |
|
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b |
|
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c |
|
|
ทฤษฎีบทที่ 2 |
กฎการตัดออกสำหรับการคูณ |
|
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b |
|
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c |
|
|
ทฤษฎีบทที่ 3 |
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
a · 0 = 0 |
|
0 · a = 0 |
|
|
ทฤษฎีบทที่ 4 |
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
(-1)a = -a |
|
a(-1) = -a |
|
|
ทฤษฎีบทที่ 5 |
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 |
|
|
ทฤษฎีบทที่ 6 |
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
a(-b) = -ab |
|
(-a)b = -ab |
|
(-a)(-b) = ab |
|
|
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |
|
|
• การลบจำนวนจริง |
|
|
บทนิยาม |
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
a- b = a + (-b) |
|
นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b |
|
|
• การหารจำนวนจริง |
|
|
บทนิยาม |
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 |
|
|
|
นั่นคือ |
|
คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b |
|
การแก้สมการตัวแปรเดียว
บทนิยาม |
สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป |
|
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 |
|
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n” |
|
|
ตัวอย่างเช่น |
x3 – 2×2 + 3x -4 = 0 |
|
4×2 + 4x +1 = 0 |
|
2×4 -5×3 -x2 +3x -1 = 0 |
|
|
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 |
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ |
|
|
ทฤษฎีบทเศษเหลือ |
|
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 |
|
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 |
|
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ |
|
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) |
|
|
|
|
ทฤษฎีบทตัวประกอบ |
|
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 |
|
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 |
|
พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 |
|
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ |
|
คือ 0 |
|
|
แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว |
|
นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x) |
|
|
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ |
|
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 |
|
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 |
|
ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม |
สมบัติของการไม่เท่ากัน
บทนิยาม |
a < b หมายถึง a น้อยกว่า b |
|
a > b หมายถึง a มากกว่า b |
|
|
|
• สมบัติของการไม่เท่ากัน |
|
กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
1. |
สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c |
|
2. |
สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c |
|
3. |
จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ |
|
|
a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 |
|
|
a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 |
|
4. |
สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์ |
|
|
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc |
|
|
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc |
|
5. |
สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b |
|
6. |
สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ |
|
|
ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b |
|
|
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b |
|
|
|
บทนิยาม |
a ≤ b |
หมายถึง |
a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b |
a ≥ b |
หมายถึง |
a มากกว่าหรือเท่ากับ b |
a < b < c |
หมายถึง |
a < b และ b < c |
a ≤ b ≤ c |
หมายถึง |
a ≤ b และ b ≤ c |
|
ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ
|
|
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b |
|
1. ช่วงเปิด (a, b) |
|
(a, b) = { x | a < x < b } |
|
|
|
|
|
2. ช่วงปิด [a, b] |
|
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } |
|
|
|
|
|
3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] |
|
(a, b] = { x | a < x ≤ b } |
|
|
|
|
|
4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) |
|
[a, b) = { x | a ≤ x < b } |
|
|
|
|
|
5. ช่วง (a, ∞) |
|
(a, ∞) = { x | x > a} |
|
|
|
|
|
6. ช่วง [a, ∞) |
|
[a, ∞) = { x | x ≥ a} |
|
|
|
|
|
7. ช่วง (-∞, a) |
|
(-∞, a) = { x | x < a} |
|
|
|
|
|
8. ช่วง (-∞, a] |
|
(-∞, a] = { x | x ≤ a} |
|
|
|
|
• การแก้อสมการ |
|
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว |
|
คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง |
|
เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง |
|
|
|
หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว |
|
เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น |
|
1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน |
|
ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c |
|
2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน |
|
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc |
|
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc |
|
ตัวอย่างที่ 1 |
จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12 |
วิธีทำ |
|
x + 3 |
> |
12 |
|
∴ |
x + 3 + (-3) |
> |
12 + (-3) |
|
|
x |
> |
9 |
|
∴ |
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞) |
|
ตัวอย่างที่ 2 |
จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9 |
วิธีทำ |
|
2x + 1 |
< |
9 |
|
∴ |
2x + 1 + (-1) |
< |
9 + (-1) |
|
|
2x |
< |
8 |
|
|
|
< |
|
|
|
x |
< |
4 |
|
∴ |
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4) |
|
ตัวอย่างที่ 3 |
จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5 |
วิธีทำ |
|
4x – 5 |
≤ |
2x + 5 |
|
|
4x – 5 + 5 |
≤ |
2x + 5 + 5 |
|
|
4x |
≤ |
2x + 10 |
|
|
4x – 2x |
≤ |
2x + 10 – 2x |
|
|
2x |
≤ |
10 |
|
|
|
≤ |
|
|
|
x |
≤ |
5 |
|
∴ |
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5] |
|
|
หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียวกำลังสอง |
|
กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ |
|
1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0 |
|
2. ถ้า |
|
= 0 แล้ว จะได้ a = 0 |
|
|
3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 |
|
4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 |
|
5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0 |
|
6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0 |
|
7. ถ้า |
|
> 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 |
|
|
8. ถ้า |
|
< 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 |
|
|
9. ถ้า |
|
≥ 0 แล้ว จะได้ |
|
> 0 หรือ |
|
= 0 |
|
|
10. ถ้า |
|
≤ 0 แล้ว จะได้ |
|
< 0 หรือ |
|
= 0 |
|
|
|
ตัวอย่างที่ 4 |
จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 |
วิธีทำ |
|
ถ้า (x – 3)(x – 4) |
> |
0 แล้วจะได้ |
|
|
x – 3 |
> |
0 และ x – 4 > 0 |
|
|
x |
> |
3 และ x > 4 |
|
|
|
∴ |
เมื่อ x – 3 |
> |
0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4 |
|
|
หรือ x – 3 |
< |
0 และ x – 4 < 0 |
|
|
x |
< |
3 และ x < 4 |
|
|
|
∴ |
x – 3 |
< |
0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3 |
|
นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ |
|
{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ ) |
ตัวอย่างที่ 5 |
จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 |
วิธีทำ |
|
ถ้า (x – 3)(x – 4) |
< |
0 แล้วจะได้ |
|
|
x – 3 |
> |
0 และ x – 4 < 0 |
|
|
x |
> |
3 และ x < 4 |
|
|
|
∴ |
เมื่อ x – 3 |
> |
0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4 |
|
|
หรือ x – 3 |
< |
0 และ x – 4 > 0 |
|
|
x |
< |
3 และ x > 4 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ |
|
|
|
∴ |
ไม่มีจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ x – 3 < 0 และ x – 4 > 0 |
|
นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) < 0 คือ |
|
{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4) |
——————————————————————- |
|
จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้ |
กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว |
1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b |
2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b |
3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b |
4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b |
5. ถ้า |
|
> 0 จะได้ x < a หรือ x > b |
6. ถ้า |
|
< 0 จะได้ a < x < b |
7. ถ้า |
|
≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b |
8. ถ้า |
|
≤ 0 จะได้ a ≤ x < b |
หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ |
ค่าสัมบูรณ์
บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง |
|
|
นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ |
|
• สมบัติของค่าสัมบูรณ์ |
|
1. |x| = |-x| |
|
2. |xy| = |x||y| |
|
|
|
3. | x – y | = | y – x | |
|
4. |x|2 = x2 |
|
5. | x + y | ≤ |x| +|y| |
|
6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |
|
|x| < a หมายถึง -a < x < a |
|
|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a |
|
7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก |
|
|x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a |
|
|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a |
Author: Tuemaster Admin
ทีมงานจากเว็บไซต์ติวกวดวิชาออนไลน์ที่ดีที่สุด !! สำหรับ การเรียนออนไลน์ ม.ปลาย (ม.4, ม.5, ม.6)