เรขาคณิตหลายมิติ

ทรงกลมในหลายมิติ

เมื่อกล่าวถึงทรงกลม หลายคนจะคุ้นเคยกับก้อนวัตถุโค้งเรียบ เช่นลูกบอล หรือลูกโลก เป็นต้น ทรงกลมในความหมายนี้

เป็นวัตถุที่อยู่ในอวกาศสามมิติ ในทางคณิตศาสตร์ ทรงกลมเป็นพื้นผิวสองมิติที่ฝังตัวอยู่ในอวกาศสามมิติ โดยมีนิยามเป็น

เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่ (จุดศูนย์กลาง) เป็นระยะทางเท่ากัน ตามความสัมพันธ์ในระบบพิกัดฉาก สำหรับทรงกลม

ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

x2+ y2+ z2= R2

โดยที่ R เป็นรัศมีของทรงกลม โดยทั่วไป นิยมเขียนแทน ทรงกลมสองมิติ ด้วย S2

ในรูปแบบเดียวกัน วงกลมจัดเป็นทรงกลม หนึ่งมิติ S’ ที่ฝั่งตัวอยู่ในอวกาศสองมิติ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จะมีสมการเป็น

x2+ y2= R2

ทั้งสองแบบนี้เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่คุ้นเคยกันดี แต่นิยามของทรงกลมดังกล่าวนี้สามารถขยายผลไปยัง ทรงกลมมิติใด ๆ ได้เช่นเดียวกัน

ทรงกลมศูนย์มิติ

ทรงกลมศูนย์มิติ S0คือ เซตของจุดในอวกาศหนึ่งมิติ ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน ตามสมการ

(x – x0)2= R2

หรือ |x – x0| = R

นั่นคือ ทรงกลมศูนย์มิติ ประกอบด้วย 2 จุดคือ x = x0+ R และ x = x0- R ดังรูป 1

ทรงกลมสามมิติ

ทรงกลมสามมิติ S3คือพื้นผิวสามมิติที่ฝังตัวอยู่ในอวกาศสี่มิติ ซึ่งประกอบด้วยจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง (w0, x0, y0, z0) เท่ากัน ตามสมการ

(w – w0)2+ (x – x0)2+ (y – y0)2+ (z – z0)2= R2

จุดในอวกาศสี่มิติ R4ระบุได้ด้วยพิกัดสี่ค่าคือ (w, x, y, z)

มีข้อสังเกตคือ ทรงกลมสามมิติ หมายถึง ทรงกลมที่มีพื้นผิดสามมิติ แต่ตัวทรงกลมเองเป็นก้อนอยู่ในอวกาศสี่มิติ ในทาง

เรขาคณิตตัวทรงกลมหมายถึงจุดที่อยู่บนผิวเท่านั้น สำหรับทรงกลมสองมิติ เช่น ลูกบอล ที่ว่างภายในลูกบอล ไม่ได้นับรวมว่า

เป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมเฉพาะจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมีของทรงกลมเท่านั้น ที่นับว่าอยู่ภายในทรงกลม

โดยวิธีการเดียวกันสามารถเขียนสมการที่แสดงทรงกลม n มิติ Snได้เป็นพื้นผิวในอวกาศ n + 1 มิติ Rn+1ที่อยู่ห่างจาก

จุดศูนย์กลาง (y1, … , yn+1) เป็นระยะเท่ากัน

(x1- y1)2+ … + (xn+1- yn+1)2= R2

จุดใน Rn+1ระบุได้ด้วยพิกัด (x1, … , Xn+1)

เรขาคณิตหลายมิติ

ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ

ในอวกาศสามมิติ R3สามารถระบุตำแหน่งของจุดต่าง ๆ ได้ด้วยค่าพักัดสามค่า เช่น (x, y, z) ในระบบพิกัดฉาก นอกจากนี้

ยังสามารถระบุตำแหน่งของจุดใน R3ในระบบพิกัดอื่น ๆ ได้อีกด้วย เช่น ระบบพิกัดทรงกลม และระบบพิกัดทรงกระบอก เป็นต้น

ระบบพิกัดทรงกลมในสามมิติ

พิจารณาจุดใน R3ที่มีพิกัดเป็น (x,y,z) ดังรูป 1 จุด (x,y,z) สามารถ

กำหนดให้มีค่าพิกัดในระบบพิกัดทรงกลมได้เป็น (r, θ,Ø) ดังรูป 2 ในที่นี้ r เป็นระยะทางจากจุดกำเนิด (0,0,0)θ เป็นมุมที่วัด

จากแกน z และØ เป็นมุมที่วัดจากแกน x มายังโปรเจกชันของ r บนระนาบ xy

จากรูป 2 จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง พิกัด (x,y,z) และ (r,θ,Ø) เป็น

z = r cosθ —–(1)

x = r sinθ cosØ —–(2)

y = r sinθ sinØ —–(3)

ซึ่งสามารถหาอินเวอร์สได้เป็น

พิสัยของค่าพิกัด (x,y,z) คือ

-∞ < x <∞ , -∞ < y <∞ , -∞ < z <∞

ส่วนค่าพิสัยของพิกัด (r,θ,Ø) หาได้ดังนี้

เนื่องจากจึงได้ r≥ 0

สำหรับØ จะพบว่า 0≤Ø≤ 2Π เนื่องจาก y/x ให้ค่า tanØ ได้ทุกค่าในช่วง (-∞,∞) สำหรับθ จะได้ว่า 0≤θ≤Π

เนื่องจาก cos-1มีค่าอยู่ในช่วง [0,Π] จึงสรุปได้ว่า ในพิกัดทรงกลม

r≥ 0 , 0≤θ≤Π, 0≤Ø≤ 2Π

การใช้พิกัดทรงกลมทำให้เขียนสมการบางอย่างได้ง่ายขึ้น เช่น วงกลมรัศมี R และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดมีสการใน

ระบบพิกัดฉากเป็น

x2+ y2+ z2= R2

เมื่อใช้ความสัมพันธ์ (1), (2) และ (3) จะได้สมการในรูปแบบง่าย ๆ คือ

r = R

ขอบคุณแหล่งข้อมูล https://www.scimath.org/lesson-mathematics/item/7348-2017-06-18-04-32-23