กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ( Fundamental Principles of Counting )

1.1 แผนภาพต้นไม้

แผนภาพต้นไม้ เป็นวิธีการอย่างหนึ่ง ในการหาจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของการกระทำเหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่ง และ แผนภาพต้นไม้แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ

1. แผนภาพต้นไม้ ที่มีกิ่งแตกออกเป็นระเบียบ

2. แผนภาพต้นไม้ ที่มีแตกออกไม่เป็นระเบียบ

ตัวอย่างที่ 1 สถานการณ์ จริยามีเสื้อและกางเกงสำหรับสวมใส่ไปแสดงละคร 3 ตัว และ 2 ตัวตามลำดับ จำนวนวิธีที่ จริยาจะสวมเสื้อและกางเกงใส่ไปแสดงละครชุดต่าง ๆ ที่แตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี

จากแผนภาพจะได้ว่าจริยาสามารถเลือกสวมใส่เสื้อได้ 3 วิธี และในแต่ละวิธีที่สวมเสื้อ สามารถเลือกสวมกางเกงได้ 2 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่จริยาจะเลือกสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่างๆแตกต่างกัน เท่ากับ 3×2 = 6 วิธี

1.2 กฎการนับเบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ( การคูณ )

กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงานสองอย่างโดยที่งานอย่างแรกทำได้ n 1 วิธีและในแต่ละวิธี ที่เลือกทำงานอย่างแรกนี้ มีวิธีเลือกทำงานอย่างที่สองได้ n 2 วิธี จะทำงานทั้งสองอย่างนี้ได้ n 1 n 2 วิธี

ตัวอย่างที่ 1 โรงเรียนแห่งหนึ่งจัดอาหารกลางวันเป็นอาหารคาว 4 อย่างและขนม 3 อย่าง ให้นักเรียนเลือกรับประทานชนิดละ 1 อย่าง อยากทราบว่านักเรียนจะมีวิธีเลือก อาหารคาวและขนมได้ทั้งหมดกี่วิธี

แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการให้เลือกอาหารคาว 1 อย่าง และขนม 1 อย่าง ดังนั้น การทำงานในข้อนี้มี 2 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกอาหารคาวได้4 วิธี (มีอาหารคาว 4 อย่าง) ขั้นตอนที่ 2 เลือกขนมได้ 3 วิธี (มีขนม 3 อย่าง) ดังนั้น จะมีวิธีเลือกอาหารคาวและขนมได้ทั้งหมด 4×3 = 12 วิธี

ตัวอย่างที่ 2 ระหว่างทางจากบ้านถึงโรงเรียนมีรถรับจ้างอยู่ 4 คัน นักเรียนคนหนึ่งจะโดยสาร รถรับจ้างทั้งไปและกลับจากโรงเรียนได้กี่วิธี ถ้า

1. เที่ยวไปและกลับ นั่งรถคันใดก็ได้

แนวคิด รถมี 4 คัน เลือกนั่งรถโดยสารขาไปได้ 4 วิธี นั่งรถกลับได้ 4 วิธี จำนวนวิธีในการเดินทางได้ 4 × 4 = 16 วิธี

กฎข้อที่ 2 ถ้าต้องการทำงานอย่างหนึ่งมี k ขั้นตอน ขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำได้ n 1 วิธี ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่งมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สองได้ n 2 วิธี ในแต่ละวิธีที่ทำงานของขั้นตอน ที่หนึ่งและขั้นตอนที่สองมีวิธีเลือกทำขั้นตอนที่สามได้ n 3 วิธี เช่นนี้เรื่อยไปจนถึงขั้นตอนสุดท้าย คือ ขั้นตอนที่ k จะทำได้ n k วิธี จะทำงาน k ขั้นตอนนี้ได้ n 1 n 2… n k วิธี

ตัวอย่างที่ 1 ชมรมถ่ายภาพมีสมาชิก 10 คน ถ้าต้องการเลือกประธานชมรม รองประธานชมรม เลขานุการชมรมและเหรัญญิกของชมรม ตำแหน่งละ 1 คน จำนวนวิธีที่จะเลือก ตำแหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้ทั้งหมดกี่วิธี

แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการเลือกตำแหน่งประธาน รองประธาน เลขานุการและเหรัญญิก ดังนั้น การทำงานในข้อนี้มี 4 ขั้นตอน

วิธีทำ ขั้นตอนที่ 1 เลือกตำแหน่งประธานได้ 10 วิธี (มีสมาชิก 10 คน)

ขั้นตอนที่ 2 เลือกตำแหน่งรองประธานได้ 9 วิธี เป็นประธานแล้ว 1 คนเหลือ 9 คน

ขั้นตอนที่ 3 เลือกตำแหน่งเลขานุการได้ 8 วิธี ( เป็นประธานกับรองแล้วเหลือ 8 คน )

ขั้นตอนที่ 4 เลือกตำแหน่งเหรัญญิกได้ 7 วิธี ( เป็นประธาน , รองและเลขาแล้ว 3 คน เหลือ 7 คน ) ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะเลือกตำแหน่งต่าง ๆ ของชมรมได้เท่ากับ 10×9×8×7 = 5,040 วิธี

ตัวอย่างที่ 2 จากคำว่า PHYSIC ถ้านำมาจัดเป็นคำใหม่โดยไม่คำนึงถึงความหมาย จะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี โดยที่ 1) ให้แต่ละคำมีอักษร 3 ตัว 2) ให้แต่ละคำมีอักษร 4 ตัว

แนวคิด คำว่า PHYSIC ประกอบด้วยตัวอักษร 6 ตัวที่แตกต่างกัน 1) ให้แต่ละคำมีอักษร 3 ตัว จัดได้ดังนี้ ตำแหน่งที่ 1 จัดได้ 6 วิธี ตำแหน่งที่ 2 จัดได้ 5 วิธี ตำแหน่งที่ 3 จัดได้ 4 วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดจะจัดคำใหม่ให้มีตัวอักษร 3 ตัว ทั้งหมด 6 × 5 × 4 = 120 วิธี

1.3 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (การบวก)

หลักการบวก ในการทำงานอย่างหนึ่งมีวิธีการท า k วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่ การท างานวิธีที่ 1 มีวิธีทำn 1 วิธี การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n 2 วิธี การท างานวิธีที่ k มีวิธีทำ n k วิธี และวิธีการท างานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีทำ งานนี้เท่ากับ n 1+n 2+…+n k วิธี
ตัวอย่างที่ 1 มีหนังสือ 6 เล่ม เป็นตำราภาษาอังกฤษ 2 เล่ม จะจัดเรียงบนชั้นหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหัวแถวและท้ายแถวเป็นตำราภาษาอังกฤษ

แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการจัดเรียงตำราบนชั้นหนังสือ โดยหัวแถวและท้ายแถวเป็นตำรา ภาษาอังกฤษ การทำงานในข้อนี้มี 2 วิธี คือ ถ้าสมมติให้ตำราภาษาอังกฤษ แทนด้วยตัว A และ B จะมีวิธีการจัดเรียงได้ดังนี้

วิธีทำ กรณีที่ 1 เล่ม A อยู่หัวแถวเล่ม B อยู่ท้ายแถว

เลือกวางตำแหน่งหัวแถวได้ 1 วิธี(เล่ม A เท่านั้น )

เลือกวางตำแหน่งที่ 2 ได้ 4 วิธี(จาก 4 เล่มที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางตำแหน่งที่ 3 ได้ 3 วิธี(เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 ที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางตำแหน่งที่ 4 ได้ 2 วิธี(เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 และ 3 ที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางตำแหน่งที่ 5 ได้ 1 วิธี(เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2, 3 และ 4 ที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางต าแหน่งท้ายแถวได้ 1 วิธี(เล่ม B เท่านั้น ) \ จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วิธี

กรณีที่ 2 เล่ม B อยู่หัวแถวเล่ม A อยู่ท้ายแถว

เลือกวางตำแหน่งหัวแถวได้ 1 วิธี (เล่ม B เท่านั้น )

เลือกวางตำแหน่งที่ 2 ได้ 4 วิธี (จาก 4 เล่มที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางตำแหน่งที่ 3 ได้ 3 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 ที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางตำแหน่งที่ 4 ได้ 2 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2 และ3 ที่ไม่ใช่ A และ B)

เลือกวางตำแหน่งที่ 5 ได้ 1 วิธี (เล่มที่เหลือจากตำแหน่งที่ 2, 3 และ4 ที่ไม่ใช่ A และ B) \ จำนวนวิธีจัดเรียงหนังสือได้ทั้งหมด 1×4×3×2×1×1 = 24 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีจัดเรียงตำราบนชั้นหนังสือที่หัวแถวและท้ายแถวเป็นตำราภาษาอังกฤษ เท่ากับ 24 + 24 = 48 วิธี

ข้อสังเกต Jการกระทำใด ๆ ที่ยังไม่สิ้นสุด การคำนวณหาจำนวนวิธีการกระทำ นั้นๆ เราใช้การคูณ

Jการกระทำใด ๆ สามารถแยกได้เป็นหลายกรณี แต่ละกรณีสิ้นสุดลง แล้วในการคำนวณหำานวนวิธีสำหรับการกระทำนั้นเราใช้ การบวกจำนวนวิธีแต่ละกรณีเข้าด้วยกัน

1.4 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ (ภายใต้เงื่อนไข)
ตัวอย่างที่ 1 ห้องปฏิบัติการวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งหนึ่งต้องการสร้างรหัสทะเบียนอุปกรณ์ เครื่องมือสื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ตัวอย่างเช่น A 01 อยากทราบว่ารหัสทะเบียนอุปกรณ์เครื่องมือ สื่อการเรียนวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนแห่งนี้มีได้ทั้งหมดกี่รหัส ถ้า

1. รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำกัน 2. รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำกันได้
แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการสร้างรหัสทะเบียน 3 ตัว ได้แก่ ตัวอักษร ภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด 2 ตัว ดังนั้นการทำงานมี 3 ขั้นตอน โดยตัวอักษรภาษาอังกฤษ คือ A-Z มีทั้งหมด 26 ตัว และเลขโดดที่ใช้ ในแสดงจำนวนที่ต้องการ คือ 0-9
วิธีทำ 1) รหัสทะเบียนอุปกรณ์ต้องไม่มีเลขโดดซ้ำกัน

ขั้นตอนที่ 1 รหัสตัวแรก เลือกอักษรได้ = 26 วิธี (ตัวอักษร A-Z )

ขั้นตอนที่ 2 รหัสตัวที่สอง เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี (เลขโดด 0-9)

ขั้นตอนที่ 3 รหัสตัวที่สาม เลือกเลขโดดได้ = 9 วิธี (ไม่ซ้ำกับเลขโดดตัวแรก)

ดังนั้น สร้างรหัสทะเบียนที่ไม่มีเลขโดดซ้ำกันได้ทั้งหมด 26×10×9 = 2,340 รหัส

2) รหัสทะเบียนอุปกรณ์มีเลขโดดซ้ำกัน

ขั้นตอนที่ 1 รหัสตัวแรก เลือกอักษรได้ = 26 วิธี

ขั้นตอนที่ 2 รหัสตัวที่สอง เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 รหัสตัวที่สาม เลือกเลขโดดได้ = 10 วิธี

ดังนั้น สร้างรหัสทะเบียนที่มีเลขโดดซ้ำกันได้ทั้งหมด 26×10×10 = 2,600 รหัส

ตัวอย่างที่ 2 มีจดหมาย 4 ฉบับที่แตกต่างกัน ต้องการไปใส่ตู้ไปรษณีย์ซึ่งมีอยู่ 6 ตู้ จะมีวิธีใส่ จดหมายลงในตู้ไปรษณีย์ได้แตกต่างกันทั้งหมดกี่วิธี ถ้า

1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

2) จดหมายแต่ละฉบับใส่ตู้ไม่ซ้ำกัน

3) จดหมายทุกฉบับใส่ตู้เดียวกัน

4) มีจดหมายซองสีขาวอยู่หนึ่งฉบับต้องใส่ตู้ที่ 1 เท่านั้น

แนวคิด โจทย์ข้อนี้ต้องการนำจดหมาย 4 ฉบับใส่ลงในตู้ไปรษณีย์ 6 ตู้ ดังนั้น การท างานมี 4 ขั้นตอน

วิธีทำ 1) ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม

ขั้นตอนที่ 1 จดหมายฉบับที่ 1 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี (มี 6 ตู้) ขั้นตอนที่ 2 จดหมายฉบับที่ 2 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี

ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบับที่ 3 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี

ขั้นตอนที่ 4 จดหมายฉบับที่ 4 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีนำจดหมาย 4 ฉบับ ใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 ตู้ ได้ทั้งหมด 6×6×6×6 = 1,296 วิธี

2) จดหมายแต่ละฉบับใส่ตู้ไม่ซ้ำกัน

ขั้นตอนที่ 1 จดหมายฉบับที่ 1 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี (มี 6 ตู้)

ขั้นตอนที่ 2 จดหมายฉบับที่ 2 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 5 วิธี ( ใส่ไปแล้ว 1 ตู้เหลือ 5 ตู้ )

ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบับที่ 3 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 4 วิธี (ใส่ไปแล้ว 2 ตู้ เหลือ 4 ตู้)

ขั้นตอนที่ 4 จดหมายฉบับที่ 4 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 3 วิธี(ใส่ไปแล้ว 3 ตู้ เหลือ 3 ตู้)

ดังนั้น จำนวนวิธีนำจดหมาย 4 ฉบับ ใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 ตู้ โดยไม่ซ้ำตู้กันได้ทั้งหมด 6×5×4×3 = 360 วิธี 3) จดหมายทุกฉบับใส่ตู้เดียวกัน

ขั้นตอนที่ 1 จดหมายฉบับที่ 1 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี (มี 6 ตู้)

ขั้นตอนที่ 2 จดหมายฉบับที่ 2 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 1 วิธี (ใส่ตู้เดียวกันกับฉบับแรก)

ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบับที่ 3 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 1 วิธี (ใส่ตู้เดียวกันกับฉบับแรก)

ขั้นตอนที่ 4 จดหมายฉบับที่ 4 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 1 วิธี (ใส่ตู้เดียวกันกับฉบับแรก)

ดังนั้น จำนวนวิธีนำจดหมาย 4 ฉบับ ใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 ตู้ โดยใส่ตู้เดียวกันได้ทั้งหมด 6×1×1×1 = 6 วิธี

4) มีจดหมายซองสีขาวอยู่หนึ่งฉบับต้องใส่ตู้ที่ 1 เท่านั้น

ขั้นตอนที่ 1 จดหมายซองสีขาว เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 1 วิธี ( ใส่ตู้ 1 เท่านั้น)

ขั้นตอนที่ 2 จดหมายฉบับที่ 2 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี (มี 6 ตู้)

ขั้นตอนที่ 3 จดหมายฉบับที่ 3 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี (มี 6 ตู้)

ขั้นตอนที่ 4 จดหมายฉบับที่ 4 เลือกใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 วิธี (มี 6 ตู้)

ดังนั้น จำนวนวิธีนำจดหมาย 4 ฉบับ ใส่ตู้ไปรษณีย์ได้ 6 ตู้ โดยจดหมายซองสีขาว ใส่ในตู้ที่ 1 จะใส่ได้ทั้งหมด 1×6×6×6 = 216 วิธี