ความน่าจะเป็น (probability)

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มมาจากปัญหาของการเล่นเกมการพนัน โดยมีนักพนันชาวฝรั่งเศสชื่อ เซอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mire) ซึงนิยมเล่นพนันมาก เดอ เมเร มีปัญหาอยู่อย่างนึงที่ยังแก้ไม่ตกสักที คือปัญหาในการแบ่งเงินพนันกันระหว่างนักพนัน แกเลยเข้าไปขอคำแนะนำจากนักคณิตศาสตร์ที่ปราดเปรื่องที่สุดในฝรั่งเศสยุคนั้น คือปาสคาล (Pascal) และแฟร์มาต์ (Fermat) จนเป็นที่มาของทฤษฎีความน่าจะเป็นในยุคปัจจุบัน

ความหมายของความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันของทุกคนต้องได้ยินคำว่า ความน่าจะเป็น หรือ โอกาส เช่น โอกาสที่วันนี้แดดจะออกมีมาก ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญแล้วจะได้หัว มีเท่ากับได้ก้อย หรือความน่าจะเป็นที่จะถูกหวย มาน้อยกว่าจะถูกเจ้ามือกิน ฯลฯ ในยุคสมัคยก่อนที่ผู้คนส่วนมากใช้ความรู้สึกหรืออารมณ์ในการตัดสินใจอะไรหลายๆอย่าง ซึ่งร้อยคนก็มีความเห็นไม่เหมือนกัน ไม่มีหลักการในการคิด ความน่าจะเป็นจึงมีใช้ช่วยในการตัดสินในเกี่ยวกับเหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ถูกต้องมากขึ้น เช่น วันนี้ควรจะเตรียมร่มหรือเสื้อกันฝนเวลาออกนอกบ้าน หรือไม่เมื่อมองดูท้องฟ้าแล้วมืดครึ้ม แสดงว่าโอกาสที่ฝนจะตกวันนี้มีมาก ดังนั้นจึงควรเตรียมอุปกรณ์ที่จะกันฝนได้ไปด้วย อาจจะเป็นร่ม หรือเสื้อกันฝนก็ได้

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N

และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n

โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน

ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร

P(E)=n(E)n(S)

เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ

n(E) แทนด้วย  จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทนด้วย จำนนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

1.    แดง ดำ เขียว ยืนเข้าแถวเป็นแนวตรง จงหาความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวยืนแยกกัน

S= {(แดง ดำ เขียว)  , (แดง  เขียว  ดำ) , (เขียว แดง ดำ) ,  (เขียว  ดำ แดง) , (  ดำ แดง  เขียว)  , ( ดำ เขียว แดง )}

ดังนี้ n(S)=6

เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ

E = {(เขียว แดง ดำ), ( ดำ แดง เขียว)}

 

นั่นคือ n(E)=2

 

คำตอบข้อนี้ ความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวจะยืนแยกกันคือ P(E)=2/6=1/3

 

 2.   กบสุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาดสีแดง 4 เม็ด สีดำ  2 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

แทน  

r1 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 1

r2 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 2

r3 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 3

r4 คือลูกกวาดสีแดง เม็ดที่ 4

b1 คือลูกกวาดสีดำ  เม็ดที่ 1

b2 คือลูกกวาดที่ดำ  เม็ดที่ 2

ดังนั้น สุ่มหยิบลูกกวาดออกมา 2 เม็ดพร้อมกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ

S= { ( r1, r2 ) ,( r1 , r3 ) , (r1,r4) , (r1,b1) , (r1,b2) , ( r2 , r3 ) ,(r2,r4) , (r2,b1) ,(r2,b2) , (r3 ,r4) ,(r3 , b1 ) , ( r3 , b2 ) , (r4 , b1 ) , 

(r4 ,b2) , (b1 , b2 ) }

มีทัังหมด 15 แบบ  ดังนั้น  n(S)= 15

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

เหตุการที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ

E = { ( r1,b1) , (r1,b2) , (r2,b1) , (r2,b2) , (r3,b1) , (r3,b2) , (r4,b1) , (r4,b2) }

ซึ่งมี  8 แบบ หรือ 8 เหตุการณ์    ดังนั้น  n(E)= 8

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด  คือ

P(E)= n(E)/n(S)=8/15

2. เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

E = {( r1,r2) , (r1,r3) , (r1,r4) , (r2,r3) , (r2,r4) , (r3,r4) }

ซึ่งมี 6 แบบ หรือ 6 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 6

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด คือ

P(E)=n(E)/n(S)=6/15=2/5

ข้อสอบ

1 ในการหยิบไพ่มา 1 ใบ จากไพ่ 1 สำรับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ

วิธีทำ   สมมติให้ E แทน เหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ

และ S แทน แซมเปิลสเปซ

จะได้ n(E) = 13

และ n(S) = 52

จากสูตร         P(E) = n(E) / n(S)

จะได้             P(E) = 13 / 52

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำเท่ากับ 13/52

 2 ครอบครัวหนึ่งมีลูกสองคน จงหาความน่าจะเป็นของครอบครัวนั้น ถ้า

1. ลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย

2. ไม่มีลูกชายเลย

3. มีลูกชายมากกว่า 1 คน

4. มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน

5. มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน

6. มีลูกชาย 3 คน

วิธีทำ

สมมติให้         E₁ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย

E₂ แทน เหตุการณ์ที่ไม่มีลูกชายเลย

E₃ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชายมากกว่า 1 คน

E₄ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน

E₅ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน

E₆ แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 3 คน

และ              S แทน แซมเปิลสเปซ

จากโจทย์ จะได้ S = { (M, M), (M, W), (W, W), (W, M) }

แสดงว่า n(S) = 4

1. E₁= { (W, M) }

จะได้ n(E₁) = 1

ดังนั้น P(E₁) = 1/4

2. E₂ = { (W, W) }

จะได้ n(E₂) = 1

ดังนั้น P(E₂) = 1/4

3. E₃= { (M, M) }

จะได้ n(E₃) = 1

ดังนั้น P(E₃) = 1/4

4. E₄= { (M, W), (W, M), (W, W) }

จะได้ n(E₄) = 3

ดังนั้น P(E₄) = 3/4

5. E₅= { (M, W), (W, M) }

จะได้ n(E₅) = 2

ดังนั้น P(E₅) = 2/4

6. E₆ไม่มี แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์แบบนี้ขึ้นเลย

จะได้ n(E₆) = 0

ดังนั้น P(E₆) = 0