ความรู้คณิตศาสตร์ ม.5 ความน่าจะเป็น การจัดหมู่(Combination)

ตอนนี้เรามีความรู้การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นแล้ว ต่อไปเราก็จะไปเรียนรู้วิธีการจัดหมู่บ้าง การจัดหมู่นั้นแตกต่างกับการเรียงสับเปลี่ยนคือ

ถ้าผมมีสิ่งของที่ต่างกัน 2 สิ่งคือ A กับ B

นำมาเรียงสับเปลี่ยนคราวละ 2 สิ่ง ก็จะได้ 2 วิธีคือ AB และ BA

แต่ถ้านำมาจัดหมู่ ก็จะได้เพียง 1 วิธี คือ AB (การจัดหมู่จะมองว่า AB และ BA เป็นสิ่งเดียวกันครับ)

นี่คือข้อแตกต่างระหว่าง Permutation กับ Combination

เรามาดูสูตรการหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดหมู่สิ่งของที่ต่างกันทั้งหมด n สิ่งโดยเลือกมาจัดหมู่คราวละ r สิ่ง

จำนวนวิธีการจัดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่ง โดยเลือกมาจัดคราวละ r สิ่ง เท่ากับ

$C_{n, r} = \frac{n!}{(n - r)! r!}$

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดจุด 10 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง ถ้าต้องการลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด 10 จุดนี้จะมีส่วนของเส้นตรงที่่เชื่อมจุดเหล่านี้มากที่สุดกี่เส้น

วิธีทำ ข้อนี้ใช้การจัดหมู่ เพราะว่า ถ้ามีจุด A และ B อยู่บนวงกลม เราลากเส้นเชื่อม AB หรือ BA มันก็คือเส้นเชื่อมอันเดียวกันอย่าหลงไปใช้การเรียงสับเปลี่ยนเด็ดขาด เขาถามว่ามีทั้งหมดกี่เส้น มันจะเกิดเส้นเชื่อมได้ต้องเลือกจุดสองจุดในวงกลมมาแล้วลากเส้นเชื่อมกัน ดังข้อนี้ คือ หา $C_{10, 2}$ มีสิ่งของคือจุดต่างกัน 10 จุดเลือกมาคราวละก็คือเลือกจุดมาคราวละ 2 จุดเพื่อสร้างเส้นเชื่อม จะได้จำนวนกี่เส้นเชื่อมมาคำนวณกันครับ

$C_{10, 2} = \frac{10!}{(10 - 2)! 2!} = 45$ เส้น

ตัวอย่างที่ 2 ในการเลือกกรรมการ 3 คน จากสมาชิกสโมสร 20 คน ซึ่งมีสมชายเป็นสมาชิกสโมสรแห่งนี้ จะมีวิธีคัดเลือกได้กี่วิธี โดยที่

1. สมชายต้องได้รับการคัดเลือกให้เป็นกรรมการ

2. ใน 20 คน มี 2 คน เป็นสามีภรรยากัน จะถูกเลือกเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้

วิธีทำ 1. สมชายต้องได้รับการคัดเลือกให้เป็นกรรมการ ก่อนทำโจทย์ผมขอแนะนำว่าถ้าไปเจอโจทย์ที่บอกว่าเลือก กรรมการ เลือกคนมาเป็นกรรมการหรือมาทำหน้าที่อะไรสักอย่าง ให้สงสัยได้เลยว่าต้องใช้การจัดหมู่แน่นอน

ข้อนี้เขาบอกว่าสมชายต้องรับเลือกเป็นกรรมการ ก็คือพูดง่ายๆตอนนี้สมชายเป็นกรรมการไปแล้ว ดังนั้นจำนวนวิธีในคัดเลือกในข้อนี้คือ $C_{19, 2}$ สมชายเป็นกรรมการแล้วก็เหลือแค่ให้เลือก 19 คน และเลือกกรรมการได้เพียง 2 คนเพราะกรรมการอีกหนึ่งคนคือสมชาย

$C_{19, 2} = \frac{19!}{(19 - 2)! 2!} = 171$ วิธี

2. ใน 20 คน มี 2 คน เป็นสามีภรรยากัน จะถูกเลือกเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้

ข้อนี้ต้องแบ่งกรณีในการคิด

กรณีที่ 1 สามีเป็นกรรมการ แสดงว่าภรรยาต้องไม่เป็นกรรมการ

สามีได้เป็นกรรมการแล้ว 1 คนต้องเลือกอีก 2 คนมาเป็นกรรมการให้ครบ 3 คนในสองคนที่เลือกมาต้องไม่เลือกภรรยา

จะได้จำนวนวิธี $C_{18, 2} = \frac{18!}{(18 - 2)! 2!} = 153$ วิธี ที่ต้องเหลือ 18 เพราะต้องลบออก 2 คนคือลบสามีออกเพราะสามีเป็นกรรมการแล้ว แลฟะลบภรรยาออกด้วยเพราะสามีเป็นกรรมการภรรยาต้องไม่เป็นกรรมการตามเงื่อนไขโจทย์

กรณีที่ 2 ภรรยาเป็นกรรมการ แสดงว่าสามีไม่เป็นกรรมการ ก็จะได้คำตอบเหมือนกับกรณีที่ 1 คือ 153 วิธีจริงไหม

กรณีที่ 3 ทั้งสามีและภรรยาไม่เป็นกรรมการจำนวนวิธีคือ $C_{18, 3} = \frac{18!}{(18 - 3)! 3!} = 816$ วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด คือ $153 + 153 + 816 = 1112$ วิธี

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมบรรจุภายในวงกลมโดยที่จุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม

ดูภาพประกอบตัวอย่างนะครับ ลองคิดเล่นๆถ้ามีจุด 6 จุดบนวงกลม เราจะสามารถ สร้างรูป 7 เหลี่ยมได้ไหม คำตอบคือไม่ได้แน่นอน สร้างรูปหกเหลี่ยมได้ไหม คำตอบง่ายๆคือได้ แล้่วได้กี่รูป ก็ได้ 1 รูปนะซิ ง่ายๆ สร้างรูปห้าเหลี่ยมได้ไหม คำตอบคือได้ แล้วได้กี่รูป มีวิธีการคำนวณไหม

การทำโจทย์ข้อนี้คือ ต้องแบ่งกรณีในการคิด คือ

กรณีที่ 1จำนวนวิธีการสร้างรูปหกเหลี่ยม แน่นอนสร้างได้เพียงหนึ่งรูป หรือก็คือต้องเลือกจุดมา 6 จุดเพื่อมาสร้างจากจุดทึ่แตกต่างกันทั้งหมด 6 จุด ก็จะได้ $C_{6, 6} = \frac{6!}{(6 - 6)! 6!} = 1$ รูป

กรณีที่ 2 จำนวนวิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยม แสดงว่าต้องเลือกจุดมา 5 จุดจาก 6 จุด

ก็จะได้ $C_{6, 5} = \frac{6!}{(6 - 5)! 5!} = 6$ รูป

กรณีที่ 3 จำนวนวิธีสร้างรูปสี่เหลี่ยม

ก็จะได้ $C_{6, 4} = \frac{6!}{(6 - 4)! 4!} = 15$ รูป

กรณีที่ 4 จำนวนวิธีสร้างรูปสามเหลี่ยม

ก็จะได้ $C_{6, 3} = \frac{6!}{(6 - 3)! 3!} = 20$ รูป

***รูปสองเหลี่ยมไม่มีนะ หนึ่งเหลี่ยมก็ไม่มี 555

ดังจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมได้ทั้งหมด $1 + 6 + 15 + 20 = 42$ รูป

ตัอย่างที่ 4 ถ้าต้องการเลือกผลไม้ 3 ชนิด จากผลไม้ 6 ชนิด คือ ส้ม ชมพู่ มังคุด ละมุด มะม่วง และน้อยหน่า โดยมีข้อแม้ว่า สำหรับมังคุดกับละมุดนั้น ถ้าเลือกจะต้องเลือกทั้งสองชนิด จะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราลองวิเคราะห์เล่นๆ จะเห็นว่า ถ้าเลือกซื้อมังคุดจะต้องซื้อละมุดด้วยและต้องเลือกผลไม้อื่นอีก 1 ชนิดเพื่อให้ครบ 3 ชนิด

หรือ เราไม่ชอบละมุด มังคุด เราก็ต้องเลือกซื้อผลไม้อย่างอื่น 3 ชนิดจาก 4 ชนิด(หักมังคุดและละมุดออก)

ฉะนั้นเราแบ่งกรณีในการคิดข้อนี้ออกเป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1 กรณีเลือกซื้อมังคุดก็ต้องเลือกซื้อละมุดด้วย และต้องเลือกผลไม้อื่นมาอีก 1 ชนิด ก็จะได้จำนวนวิธีในการเลือก ทั้งหมด 4 วิธี งงไหม ก็คือง่ายๆเลย

มังคุด ละมุด ส้ม

มังคุด ละมุด ชมพู่

มังคุด ละมุด มะม่วง

มังคุด ละมุด น้อยหน่า

หรือใช้วิธีการคำนวณก็ได้ คือ $C_{4, 1} = \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} = 4$ วิธี จริงไม่ต้องคำนวณหรอกคิดในใจสนุกกว่า

กรณีที่ 2 ไม่เลือกซื้อมังคุด ละมุด

ก็จะเลือกซื้อผลไม้ 3 ชนิดจากผลไม้ที่เหลือ 4 ชนิด (หักละมุดมังคุดออก)

$C_{4, 3} = \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} = 4$ วิธี

ดังนั้น จะมีวิธีในเลือกซื้อทั้งหมด 4+4 = 8 วิธี

ตัวอย่างที่ 5 จำนวนวิธีที่จะเลือกผู้แทน 3 คน จากลุ่มคน 9 คน ซึ่งประกอบด้วยชาย 4 คนและหญิง 5 คน เข้าร่วมในคณะกรรมการชุดหนึ่ง โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน จะมีวิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ เขาบอกว่าจะต้องมีชายอย่างน้อย 1 คนแสดงว่าต้องแบ่งกรณีในการคิดคือ

กรณีที่ 1 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 1 คน ก็คือเลือกชาย 1คนจาก 4 คนและเลือกหญิง 2 คนจาก 5 คน ก็จะได้จำนวนวิธีคือ

$(\binom{4}{1}) (\binom{5}{2}) = 40$ วิธี

กรณีที่ 2 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 2 คน ก็จะได้จำนวนวิธีคือ

$(\binom{4}{2}) (\binom{5}{1}) = 30$ วิธี

กรณีที่ 3 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 3 คนก็จะได้จำนวนวิธีคือ

$C_{4, 3} = \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} = 4$ วิธี

วิธีเลือกผู้แทนโดยมีชายอย่างน้อย 1 คน มี 40+30+4=74 วิธี

ตัวอย่างที่ 6 มีนักเรียนชั้น ม.4 จำนวน 4 คน นักเรียนชัน ม.5 จำนวน 5 คน และนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 6 คนต้องการเลือกนักเรียนเหล่านี้ออกมา 5 คน ซึ่งต้องมีนักเรียนทั้งสามชั้น จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับกี่วิธี

วิธีทำ การทำข้อนี้ จะเห็นว่าต้องเลือกนักเรียนมาให้ครบทั้งสามชั้น คือต้องมีทั้ง ม.4 ม.5 และ ม.6 และต้องรวมกันแล้วให้ครบ 5 คน ดังนั้นต้องแยกคิดออกเป็นกรณีนะครับ

กรณีที่ 1 คือ 1,1,3 ความหมายคือเลือกนักเรียนม.4 จำนวน 1 คน ม.5 จำนวน 1 คนและม.6 จำนวน 3 คน นะครับ ฉะนั้นจำนวนวิธีเลือกเท่ากับ

$C_{4, 1} \times C_{5, 1} \times C_{6, 3} = 4 \times 5 \times 20 = 400$

กรณีที่ 2 คือ 1,3,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

$C_{4, 1} \times C_{5, 3} \times C_{6, 1} = 4 \times 10 \times 6 = 240$

กรณีที่ 3 คือ 3,1,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

$C_{4, 3} \times C_{5, 1} \times C_{6, 1} = 4 \times 5 \times 6 = 120$

กรณีที่ 4 คือ 1,2,2 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

$C_{4, 1} \times C_{5, 2} \times C_{6, 2} = 4 \times 10 \times 15 = 600$

กรณีที่ 5 คือ 2,1,2 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

$C_{4, 2} \times C_{5, 1} \times C_{6, 2} = 6 \times 5 \times 15 = 450$

กรณีที่ 6 คือ 2,2,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

$C_{4, 2} \times C_{5, 2} \times C_{6, 1} = 6 \times 10 \times 6 = 360$

เอาทุกกรณีมารวมกันก็จะเป็นคำตอบนะครับ จะได้คำตอบคือ 400+240+120+600+450+360=2170 วิธี

ตัวอย่างที่ 7 มีนักเรียนชั้น ม.4 ,ม.5 และ ม.6 ชั้นละ 4 คน ต้องการเลือกตัวแทนนักเรียนเหล่านี้ออกมา 6 คนโดยให้ได้นักเรียนครบทุกชั้นปี จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ การทำข้อนี้ จะแบ่งทำเป็นกรณีเหมือนตัวอย่างที่ 7 ก็ได้ แต่มีข้อสังเกตคือจำนวนคนของแต่ละชั้นปีเท่ากันคือมีจำนวน 4 คน ดังนั้นแต่ละกรณีที่เราคำนวณหาจำนวนวิธีมาเนียะมันได้คำตอบเท่ากันจริงไหม ดังนั้นเราก็คำนวณแค่กรณีเดียวก็พอ แล้วเอาไปคูณ 3 สมมิตถ้ามี 3 กรณี หรือเอาไปคูณ 4 สมมติถ้ามี 4 กรณีเข้าใจไหม ทำต่อนะ

โจทย์บอกว่าต้องการเลือกคนออกมา 6 คนและต้องได้นักเรียนครบทุกชั้น ฉะนั้น อาจจะเลือก ดังนี้

1,1,4 (ความหมายคือเลือก ม.4 มา 1 คน ม.5 มา 1 คนและ ม.6 มา 4 คน)

หรือ 1,4,1,

หรือ 4,1,1

ทั้ง 3 กรณีนี้มีจำนวนวิธีเท่ากันนะครับเพราะจำนวนนักเรียนแต่ละชั้นปีเท่ากัน ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกเท่ากับ

$3 \times C_{4, 1} \times C_{4, 1} \times C_{4, 4} = 48$ วิธี

หรือ อาจจะเลือก ดังนีั

1,2,3 หรือ 1,3,2 หรือ 3,2,1 หรือ 3,1,2 หรือ 2,3,1 หรือ 2,1,3 คิดคำนวนแค่กรณีเดียวแล้ว คูณ 6 นะครับ ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกเท่ากับ

$6 \times C_{4, 1} \times C_{4, 2} \times C_{4, 3} = 576$ วิธี

หรือ อาจจะเลือก ดังนี้

2,2,2 ถ้าเลือกแบบนี้ได้แบบเดียวไม่ต้องเอาไปคูณอะไรทั้งสิ้น ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกคือ

$C_{4, 2} \times C_{4, 2} \times C_{4, 2} = 216$ วิธี

อย่าลืมเอาทั้ง 3 กรณีมาบวกกันครับ 48+576+216=840 วิธี

เข้าใจไหมเอ่ย ยากแต่ต้องค่อยๆอ่านนะครับ

ตัวอย่างที่ 8 นักเรียนชั้น ม.4 , ม.5 และ ม.6 ชั้นละ 4 คน ต้องการเลือกนักเรียนเหล่านี้ออกมาเป็นตัวแทน 5 คน

ถ้า a แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนชั้น ม.6 อย่างน้อยหนึ่งคน

b แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนครบทุกชั้นปี

จงหา a-b

วิธีทำ มาดูอันแรกก่อนคือ a แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนชั้น ม.6 อย่างน้อยหนึ่งคน

เราจะหาคำตอบของอันแรกนี้โดยวิธีหาคำตอบแบบตรงกันข้ามครับ ก็คือ

เอาจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไข ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกโดยไม่มีนักเรียนชั้น ม.6 เลย

จำนวนวิธีเลือกทั้งหมดโดยไม่มีเงี่อนไขคือ $C_{12, 5} = \frac{12!}{7! 5!} = 792$ วิธี

จำนวนวิธีเลือกโดยไม่มีนักเรียน ม.6 คือ $C_{8, 5} = \frac{8!}{5! 3!} = 56$ วิธี

ดังนั้น a=792-56=736 วิธี

มาดูวิธีหาคำตอบอันที่สอง คือ b แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนครบทุกชั้นปี

กรณีเลือกมา 5 คนโดยเลือกแบบ 1,1,3 หรือ 1,3,1 หรือ 3,1,1 อย่าลืมนะทุกชั้นปีมีนักเรียนเท่ากัน หาแบบเดียวแล้วคูณ 3 ก็จะได้คำตอบ

$3 \times C_{4, 1} \times C_{4, 1} \times C_{4, 3} = 192$ วิธี

กรณีเลือกมา 5 คนโดยเลือกแบบ 1,2,2 หรือ 2,1,2 หรือ 2,2,1 หาอันเดียวคูณ 3

$3 \times C_{4, 1} \times C_{4, 2} \times C_{4, 2} \times C_{4, 2} = 432$ วิธี

เอาทั้งสองกรณีมาบวกกันครับ

b=192+432=624 วิธี

ดังนั้น a-b=736-624=112

ตัวอย่างที่ 9 จากรูป วงกลมวงหนึ่งมีจุดบนเส้นรอบวง 12 จุด ในจำนวนนี้มีจุด A และ B รวมอยู่ด้วย ถ้าต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดและมี A หรือ B เป็นจุดยอดด้วย แล้ว จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการเท่ากับกี่รูป

วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้เรื่องเซตมาช่วยจะได้ง่าย ลองมองภาพเป็นเซตนะ

ให้ n(A) คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A เป็นจุดยอดจุดหนึ่ง ดังนั้น

$n (A) = C_{11, 2} = \frac{11}{9! 2!} = 55$ รูป

ให้ n(B) คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด B เป็นจุดยอดจัดหนิ่ง ดังนั้น

$n (B) = C_{11, 2} = 55$ รูป

ให้ $n (A) \cap B)$ คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A และ B เป็นจุดยอดสองจุด ดังนั้น

$n (A \cap B) = C_{10, 1} = 10$ รูป

ดังนั้น จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มี A หรือ B เป็นจุดยอดคือ $n (A \cup B)$ นั่นเอง

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B) = 55 + 55 - 10 = 100$ รูป

ตัวอย่างที่10 ในการสอบครั้งหนึ่งนักเรียนต้องทำข้อสอบ 8 ข้อ จากข้อสอบทั้งหมด 10 ข้อและนักเรียนต้องทำข้อสอบอย่างน้อย 4 ข้อจาก 5 ข้อแรก นักเรียนจะเลือกทำข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้เราลองวิเคราะห์คร่าวๆก่อนครับคือนักเรียนต้องทำข้อสอบเพียงแค่ 8 ข้อเท่านั้นคือจากทั้งหมด 10 เลือกทำแค่ 8 ข้อเท่านั้นครับ แต่ 5 ข้อแรกเลือกทำอย่างน้อย 4 ข้อ ตรงนี้แหละต้องเน้นเลยครับก็คือต้องแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1 ใน 5 ข้อแรกเลือกทำเพียง 4 แสดว่าอีก 5 ข้อที่เหลือต้องเลือกทำอีก 4 ข้อถึงจะครบ 8 ข้อก็จะได้จำนวนวิธีคือ

$C_{5, 4} \times C_{5, 4} = \frac{5!}{(5 - 4)! 4!} \times \frac{5!}{(5 - 4)! 4!} = 5 \times 5 = 25$

กรณีที่ 2 ใน 5 ข้อแรกเลือกทำทั้ง 5 ข้อเลยแสดงว่าอีก 5 ข้อที่เหลือต้องเลือกทำอีก 3 ข้อถึงจะครบ 8 ข้อก็จะได้จำนวนวิธีคือ

$C_{5, 5} \times C_{5, 3} = \frac{5!}{(5 - 5)! 5!} \times \frac{5!}{(5 - 3)! 3!} = 1 \times 10 = 10$

ดังนั้นจำนวนวิธีในการทำข้อสอบของนักเรียนคือ $25 + 10 = 35$ วิธี

ตัวอย่างที่ 11 ถ้าเครื่องดื่มที่จัดไว้เป็นน้ำอัดลม 4 ชนิด น้ำผลไม้ 3 ชนิด จำนวนวิธีที่จะเลือกน้ำอัดลม 2 ชนิดและผลไม้ 2 ชนิดแล้วนำไปเสิร์ฟคนที่นั่งรอบโต๊ะกลม 4 คน คนละ 1 แก้วอย่างไม่เจาะจงเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ผมจะแยกทำเป็นสอง step

step 1 ก็คือหาจำนวนวิธีในการเลือกน้ำอัดลมมา 2 ชนิดและเลือกน้ำผลไม้มา 2 ชนิด จากน้ำอัดลมทั้งหมด 4 ชนิดและน้ำผลไม้ทั้งหมด 3 ชนิด ก็จะได้ทำวิธีทั้งหมดคือ

$C_{4, 2} \times C_{3, 2} = 6 \times 3 = 18$ วิธี