ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน -ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian Product)

 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1. ผลคูณคาร์ทีเชียน(Cartesian Product)

นิยาม   คูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และ B คือ เซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a Î A  และ b Î B  เช่น            A =  { 1,2,3} , B = {4,5,6}

และ  A x B   คือ ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ เซต B  ดังนั้น

A x B  =  {(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)}

2. ความสัมพันธ์ (Relation) หมายถึง เซตของคู่ลำดับ

2.1  ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ(Order Pairs) ก่อน

2.2  คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B  หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเชียนนั่นเอง

3. โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)

ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์

โดเมนของ R : (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ

เรนจ์ ของ R : (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ

ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesion product)

ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ เซท A และ B คือ

เซตของคู่อันดับ ที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นเซตของ A

และสมาชิกตัวหลังเป็นเซตของ B

เขียน แทนด้วยภาษาคณิตศาสตร์เพื่อความเข้าใจที่ตรงกันคือ

ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesion product)

เขียนแทนด้วย A X B อ่านว่า เอ คูณ บี หรือ เอ ครอส ( cross) บี

และเมื่อ B เป็นเซตว่าง จะทำให้ ค่า A X B เท่ากับเซตว่าง

ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesion product)

สรุป อย่างภาษาง่าย ๆเราจะได้ ว่า เซต A คูณ เซต B

จะได้คู่อันดับ ซึ่งมีสมาชิกตัวแรกเป็นสมาชิก จากเซต A

และสมาชิกตัวที่สอง เป็นสมาชิก จากเซต B

ตัวอย่างผลคูณคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {4 , 5 } และ B = { 6, 7, 8}

จงหา A X B , B X A , A X A , B X B

วิธีทำ

1. หา A X B

” จะได้คู่อันดับซึ่ง นำสมาชิกของ A มาเป็นสมาชิกตัวแรก

และ นำสมาชิกจาก B มาเป็นตัวที่สอง “

ดังนั้น A X B = { (4,6), (4,7), (4,8), (5,6), (5,7), (5,8) }

B X A = { (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (8,4), (8,5) }

A X A = { (4,4), (4,5), (5,4), (5,5) }

A cross A

B X B={(6,6), (6,7), (6,8) , (7,6),

(7,7) , (7,8), (8,6),(8,7) ,(8,8) }

ตัวอย่างผลคูณคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {4 , 5 } ,B = { 4,5, 6}

และ C = { 5,8}

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดให้ A = { 12,18 } , B = {Ø }

หา A X B

วิธีทำ เนื่องจาก B เท่ากับ เซตว่าง ดังนั้น ค่า ของ A X B = Ø

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดให้ A ={1 ,2 } B = {P , Q ,R}

หา A X B โดยใช้ แผนภาพต้นไม้

วิธีทำ

แผนภูมิต้นไม้

A X B = { (1,P), (1,Q), (1,R), (2,P), (2,Q), (2,R) }

ตัวอย่าง     R = {(-1,1),(0,0)}

                  โดเมน คือ {-1,0}      เรนจ์  คือ  {1,0}

4. ฟังก์ชัน (Function)  คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใด ๆ จะมี

สมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้

เช่น  R1 = {(1,2),(1,4)} R1  ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน

         R2 = {(1,3),(2,3)}  R2   เป็นฟังก์ชัน  ตามนิยาม

         R3 = {(1,4),(2,3)}  R3   เป็นฟังก์ชัน  ตามนิยาม

5. การตรวจสอบความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่
6.  ลากเส้นขนานกับแกน y ตัดกราฟความสัมพันธ์ ได้ 1 จุดเป็นฟังก์ชันแต่ถ้าตัดกราฟเกิน 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน
7.  ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า  กำหนดให้ (a , b) Î r และ (a , c) Îr 

  เราสามารถสรุปได้ว่า b = c ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน

            ตัวอย่าง

     จงตรวจสอบว่า r = {(x,y) ÎR x R  y² = 4x + 1 } เป็นฟังก์ชันหรือไม่

            วิธีทำ

                ใช้วิธีที่ 2  จาก y² = 4x + 1

               ให้ (a,b) Î r จะได้  b² = 4a + 1    ——-(1)

              ให้ (a,c) Î r จะได้  c² = 4a + 1   ——–(2)

              จาก (1) และ (2) จะได้             b² = c²

                                         b = ± c

            เราไม่สามารถสรุปได้ว่า b = c แสดงว่าความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน

6. ฟังก์ชันจาก A ไป B    ถ้ากำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

            มีเงื่อนไข Df  =  A

7. ฟังก์ชัน 1 – 1 ( One – to – one function )

            เป็นฟังก์ชันแบบ 1 – 1  ก็ต่อเมื่อ สมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์

กับสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้น

การตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน แบบ 1-1 หรือไม่ โดย

1. ลากเส้นขนานกับแนวแกนx ตัดกราฟฟังก์ชัน 1 จุด เป็นฟังก์ชัน 1-1

ถ้าตัดกราฟฟังก์ชันมากกว่า 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

2. ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า กำหนดให้ (a , c) Î f และ (b , c) Îf 

เราสามารถสรุปได้ว่า a = b ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันแบบ1-1

8. ฟังก์ชันไปทั่วถึง(onto function)

ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B        จะเรียก f  ว่าเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B  ก็ต่อเมื่อ Rf = B

9. พีชคณิตของฟังก์ชัน คือ การนำฟังก์ชันมา บวก  ลบ  คูณ  และหารกัน
10. อินเวอร์สของฟังก์ชัน (f^-1)

     ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B อินเวอร์สของ r เขียนแทนด้วย r^-1 ก็จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

 r = {(x,y)    xÎA, yÎB }                            r^-1 = {(y,x)    (x,y)Îr }

       การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f^-1)

(1)                              ที่ใดมี x แทนด้วย y และที่ใดมี y แทนด้วย x

(2)                              พยายามทำให้อยู่ในรูป y = f(x)

(3)                              y ตัวนี้คือ f^-1  นั่นเอง

กรณีเขียนเป็นรูปคู่อันดับ การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f^-1) ทำได้โดย

ถ้า f = {(a,1),(b,2),(c,3)}

ดังนั้น f^-1 = {(1,a),(2,b),(3,c)}

 

11.ฟังก์ชันคอมโพสิท(composite function) เป็นการกระทำตั้งแต่ฟังก์ชัน 2 

ฟังก์ชันขึ้นไป โดยมีลักษณะเหมือนกับการนำฟังก์ชันนั้นมาเชื่อมกัน

 ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

 ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C

 เราสามารถสร้างฟังก์ชันจาก A ไป C ได้โดยเขียนแทนด้วย gof(x) = gf(x)

 จะสร้าง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ f ต้องเป็นสับเซตของโดเมน g

    ทดสอบความเข้าใจ

   ข้อ 1.   จงบอกโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ R  ต่อไปนี้

1.1)   R1 = {(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1)}

                                         เฉลย

     ข้อ 1.   โดเมนข้อ R1  = {-3,-2,-1,0,1}เรนจ์ R1 = {9,4,1,0,1}

      เรนจ์ R5 = {Y  Y Î R  และ Y² < 1 }