ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

5.1 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

1)คู่อันดับ : เขียนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่  a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ  b เป็นสมาชิกตัวคู่หลัง คู่อันดับสองคู่อันดับใดๆ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของทั้งสองคู่อันดับนี้เท่านั้น

(a, b) = (c,d) เมื่อ a= c และ  b = d

2) ผลคูณคาร์ทีเซียน : ผลคูณคสร์ทีเซียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A x  B  หมายถึง เซตของคู่อันดับ (X , Y )  ทั้งหมด โดยที่  X   เป็นสมาชิกเซต A และ Y เป็นสมาชิกของเซต B

A x B = {(x ,y) | x    A  และ y   B }

เช่น   A= { 1,2}  และ B= {3, 4}

A x B = {(3,1 ), (1,4 ), (2,3), (2,4)}

B x A = {(3,1 ),(3,2) ,(4,1) ,(4,2)}

จากตัวอย่าง จะเห็นว่า A x B =  B x A

3)ความสัมพันธ์:  สับเซตของผลคูณคาร์เซียนของเซต  A   และเซต B  ถ้าแทนเซตของความสัมพันธ์ด้วย r

r     A x   B  แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์จาก  A  ไป  B

r     A  x   B  แสดงว่า r เป็นความสัมพันธ์ใน  A

เช่น  A = {1,3} และ B = {2,4,6}

A x B = {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,2) , (3,4) , (3,6)}

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์  “น้อยกว่า” จาก A ไป B

จะได้ว่า r = {(1,2) , (1,4) , (1,6) , (3,4) , (3,6)}

หรือ r = {(x , y) € A x B | x < y  }

4) โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

บทนิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์

       โดเมน r : เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย D

เรนจ์ของ r : เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R

เขียน D และ R ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ได้ดังนี้

D  =  {x | (x , y) € r }

R  =  {y | (x , y) € r }

ถ้า r = {(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6)

หรือ r = {(x,y)}€ A×B | x< y}

4.โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ 

บทนิยาม

โดเมนของ r : เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย   D

เรนจ์ของ r  : เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย R

เขียน D และ r ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข  ได้ดังนี้

D = {x|(x,y)€}

R = {y|(x,y)€r}

ถ้า r={(a,1),(b,3),(c,5)}

จะได้ว่า D = {a,b,c}   R = {1,3,5}

      

 

5.ตัวผกผันของความสัมพันธ์

บทนิยาม

       ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของ

สมาชิกตัวหน้า  และสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย  r

 

เขียน r  ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข    ได้ดังนี้

 1. ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product)
นิยาม   คูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B คือเซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมด  โดยที่ a ∈ A  และ b ∈ B
เช่น   A = {1,2,3} ,  B = {4,5,6}
และ  A × B   คือผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และเซต B  ดังนั้น
A × B  =  {(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)}

2. ความสัมพันธ์ (Relation) หมายถึง เซตของคู่ลำดับ
2.1  ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ(Order Pairs) ก่อน
2.2  คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B  หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณคาร์ทีเชียนนั่นเอง

3. โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)
ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์
โดเมน ของ R : (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ
เรนจ์ ของ R : (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ

4. ฟังก์ชัน (Function)  คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใดๆ จะมีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้
เช่น  R1 = {(1,2),(1,4)}   R1   ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน
R2 = {(1,3),(2,3)}   R2   เป็นฟังก์ชัน  ตามนิยาม
R3 = {(1,4),(2,3)}   R3   เป็นฟังก์ชัน  ตามนิยาม