ลำดับเลขคณิต และ ลำดับเรขาคณิต (Sequences and series) -คณิตศาสตร์ ม.ปลาย

– ลำดับจำกัด คือลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์จำกัด เช่น 1,2,3,4,…,100

– ลำดับอนันต์ คือลำดับซึ่งมีจำนวนพจน์ไม่จำกัด เช่น 1,2,3,4,…

1) พิจาารณาลำดับ

1,3,5,7,9,…

จะเห็นว่า ถ้าเอา

3-1=2

5-3=2

7-5=2

9-7=2

นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 2

ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)

2) พิจารณาลำดับ

4,8,12,16,20,24,….

จะเห็นว่า ถ้าเอา

8-4=4

12-8=4

16-12=4

20-16=4

24-20=4

นำพจน์ที่อยู่ข้างหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า จะได้ค่าค่าหนึ่งซึ่งคงที่ตลอดจากตัวอย่างคือ 4

ลำดับที่มีลักษณะเช่นนี้ เรียกว่าลำดับ เลขคณิต(Arithmetic Sequence)

จากตัวอย่างข้อ 1) และ 2)

ค่าที่เกิดจากการนำ พจน์ที่อยู่ด้านหลัง ลบ พจน์ที่อยู่ด้านหน้า  ค่าๆนี้เรียนกว่า ผลต่างร่วม(common difference) เราจะแทนผลต่างร่วมด้วยตัว d

ดังนั้นจึงได้ว่า

ลำดับ 1,3,5,7,9,…

มีผลต่างร่วมหรือว่า d=2

และ

ลำดับ 4,8,12,16,20,24,….

มีผลต่างร่วมหรือ d=4

2.ลำดับเรขาคณิต

 ลำดับเรขาคณิต ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงที่ทุกค่าของจำนวนนับ n และเรียกค่าคงที่นี้ว่า“อัตราส่วนร่วม”เขียนแทนด้วย

ถ้า a₁, a₂, a₃, …, a_n, aⁿ⁺¹ เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว จะได้

an = a1*rn-1

ตัวอย่างเช่น

5,10,20,40,80,160,…

ลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิต เพราะว่า

105=2

2010=2

4020=2

8040=2

16080=2

จะเห็นว่าจับพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ติดกันข้างหน้าจะแล้วได้ค่าเท่ากันตลอดคือ 2 เรียกลำดับแบบนี้ว่า ลำดับเรขาคณิต

จากตัวอย่างผลหารที่หารออกมาคือ 2 เจ้าเลขสองนี้เขาเรียกว่า อัตราส่วนร่วม(common ratio)

ซึ่งแทนด้วยค่า r

ดังนั้น เราสามารถค่า r  ได้โดยเอาพจน์ที่อยู่ข้างหลังหารด้วยพจน์ที่อยู่ข้างหน้าติดกัน หรือถ้าเขียนให้เป็นภาษาคณิตศาสตร์คือ

r=an+1an

1) 5,15,45,… จงหาพจน์ทั่วไป

วิธีทำ จากลำดับที่กำหนดให้เราจะเห็นว่าเป็นลำดับเรขาคณิตและมี

r=155=3

เนื่องจากลำดับนีัเป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น

an=a1rn−1 แทนค่า r และ a1a1ลงไป

an=5(3)n−1

2) 1,−12,14,−18,…

วิธีทำ จากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต

r=−121

เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น

an=a1rn−1 แทนค่า r และ a1a1 ลงไป

an=1(−12)n−1

3) กำหนดลำดับ 162,-54,18,… จงหาค่าของ a7a7

วิธีทำ เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต

ดังนั้น    r=−1854=−13

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

an=a1rn−1 แทนค่า r และ a1a1ลงไป

an=162(−13)n−1

ดังนั้น

a7=162(−137−1)

a7=162(−136)

a7=162(1729)

7=162729

ตอบ a7=29 

4) 243 เป็นลำดับที่เท่าไรของลำดับ 1,3–√,3,…1,3,3,…

วิธีทำ เนื่องจากลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิต

โดยที่   r=31=3   a1=1

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ an=a1rn−1an=a1rn−1 

แทนค่า r และ a1a1 ลงไปในพจน์ทั่วไปเลยครับ จะได้

an=1(3)n−1

เขาถามว่า 243 เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับนี้ ดังนั้น จะได้

243=1(3)n−1

35=312×(n−1) รากที่สองของสามคือ สามกำลังหนึ่งส่วนสอง

35=3n−12   อย่าลืมนะ 243 เท่ากับ สามยกกำลังห้า

ฐานเท่ากันแล้วคือ 3 ดังนั้นจะได้เลขชี้กำลังเท่ากันคือ

5=n−12

5×2=n−1

10+1=n

n=11

ตอบ 243 เป็นพจน์ที่ 11 ของลำดับนี้

5) จงหาว่าลำดับ 5,52–√,10,…,405,52,10,…,40 มีจำนวนกี่พจน์

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยาก ข้อสอบในห้องเรียนชอบถามเพราะเป็นการทดสอบความเข้าใจพื้นฐานของความรู้เรื่องลำดับเรขาคณิต

แน่นอนคับลำดับนี้เป็นลำดับเรคณิต โดยมี   r=525=2 และ  a1=5

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ an=a1rn−1

ข้อนี้เขาต้องการรู้ว่าลำดับมีกี่พจน์ เราก็ต้องไปหาว่า 40 ซึ่งเป็นพจน์สุดท้ายของลำดับนี้เป็นพจน์ที่เท่าไร ก็คือ แทน an=40an=40ลงไปในพจน์ทั่วไป จะได้

40=52(n−1)

405=2(n−1)

8=212(n−1)  รูทสองมีค่าเท่ากับสองยกกำลังหนึ่งส่วนสอง

23=212(n−1)

ดังนั้นจะได้

3=12(n−1)

3×2=n−1

6=n−1

6+1=n

n=7

ตอบ ดังนั้น 40 เป็นพจน์ที่ 7 ของลำดับนี้และเป็นพจน์สุดท้ายด้วยดังนั้นลำดับนี้มี 7 พจน์นั่นเอง

ลำดับเรขาคณิต

     พิจารณาลำดับ 4,8,16,32,64, ….. จะเห็นว่าเมื่อนำพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมีผลหารเป็นค่าคงตัวเท่ากับ 2 เสมอ

บทนิยาม

            ลำดับเรขาคณิต (geometric seuence) คือ ลำดับที่มีผลหารซึ่งเกิดจากพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว และค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) เขียนแทนอัตราส่วนร่วมนี้ด้วย r