สมบัติของจำนวนนับ

ทฤษฎีมูลฐานของเลขคณิต (Fundamental theorem of arithmetic)

ในการเรียนระดับปฐมวัยเราได้เรียนรู้จำนวนชนิดต่าง ๆจากการนับ ต่อมาในระดับประถมศึกษามีการนำจำนวนนับเหล่านี้มาดำเนินการด้วยการบวก ลบ คูณ และหาร จนกระทั้งถึงระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับ

คุณสมบัติข้อหนึ่งของจำนวนนับคือการแยกตัวประกอบตัวอย่างเช่น 20=1X20=2X10=4X5 สังเกตว่า 20 เป็นจำนวนประกอบที่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนนับได้หลายแบบแต่หากเราจะเขียน 20 ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะจะเห็นถึงคุณสมบัติของเลขคณิตข้อหนึ่งนั้นคือการเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะจะเขียนได้เพียงแบบเดียว 20= 2•2•5=2²•5 แน่นอนว่าจำนวนนับใดก็ตามย่อมสอดคล้องกับคุณสมบัติของเลขคณิตดังที่ยกตัวอย่างมาข้างต้นตามทฤษฎีบทมูลฐานของเลข

หลักการของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

บทมูลฐานของเลขคณิตถูกกล่าวไว้ว่า “จำนวนเต็มใด ๆที่มากกว่า 1 จะสามารถแยกตัวประกอบในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงแบบเดียว”

อาจกล่าวได้ว่าจำนวนเต็ม n > 1 สามารถเขียนในรูป

ได้เพียงแบบเดียวเมื่อ เป็นจำนวนนับ p₁,p₂,…,p_k   เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ e₁,e₂,…,e_k   เป็นจำนวนนับที่เป็นเลขชี้กำลังของ p₁,p₂,…,p_k   ตามลำดับในส่วนของบทพิสูจน์ผู้เขียนขอละไว้

ข้อสังเกต         1. จำนวนเฉพาะ p ใด ๆจะถูกเขียนในรูปp=p¹ เช่น13=13¹
2. จำนวนนับ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะเพราะถ้า 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้วจะเกิดข้อขัดแย้งกับทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตนั้นคือจำนวนนับใด ๆที่มากกว่า 1          สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้มากกว่า 1 แบบดังตัวอย่างที่จะอธิบายต่อไปนี้พิจารณา 20=2² X 5¹ แต่หากเรายอมรับว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว 20=2²X5=1¹X2²X5¹=1²X2²X5¹=1³X2²X5¹= …. จะเห็นว่าเขียนได้มากมายนับไม่ถ้วน

การนำไปใช้

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตได้ถูกนำไปใช้วิเคราะห์ สังเคราะห์ เพื่อหาคำตอบและยืนยันข้อเท็จจริงหลายปัญหาในคณิตศาสตร์ ผู้เขียนจะขอยกตัวอย่างบางกรณีเพื่อเป็นแนวทางให้ผู้อ่านได้ศึกษาและนำไปประยุกต์ใช้ต่อไป

การหาจำนวนตัวประกอบ

ตัวประกอบจำนวนนับใด ๆคือจำนวนนับที่สามารถหารจำนวนนั้นได้ลงตัว หากพิจารณาถึงตัวประกอบของ 20 ย่อมหมายถึงจำนวนนับที่นำไปหาร 20 ได้ลงตัวได้แก่ 1,2,4,5,10 และ 20

ข้อสังเกต        

      1. จำนวนนับใด ๆจะมีตัวประกอบ 2 จำนวนที่เช่นได้แจ่มชัดคือ  และจำนวนนั้นเช่นตัวประกอบที่แจ่มชัดของ  คือ 1 และ 20

2. ผลหารของตัวประกอบจะเป็นตัวประกอบด้วยเช่น 2 เป็นตัวประกอบของ 20แล้วผลหาร 10 จะเป็นตัวประกอบของ 20 ด้วย

จากตัวอย่างข้างต้นหากเขียน 20 ในตามหลักทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตจะได้ว่า 20 = 2X2X5=2²X5¹นั้นคือมีจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวกำเนิด 20 คือ 2 ซึ่งมี 2 จำนวน และ 5 มี 1 จำนวนหากเราพิจารณาขั้นตอนการสร้างตัวประกอบจากการเลือก 2 และ 5 จะพบว่า

ขั้นตอนที่ 1 เลือก 2 ได้ 3 แบบคือเลือกมา 0, 1 และ 2 จำนวน

ขั้นตอนที่ 2 เลือก 5 ได้ 2 แบบคือเลือกมา 0, 1 จำนวน

จากขั้นตอนการทำงานจะเห็นว่าเราเลือก 2 ได้ 3 แบบในแต่ละแบบเลือก 5 ได้อีก 2 แบบจำนวนตัวประกอบของ 20 = 2² X 5¹ เท่ากับ (2+1)X(1+1) = 6 ในทำนองเดียวกันหาเราพิจารณา 144 = 2⁴ X 3² จะมีจำนวนตัวประกอบเท่ากับ (4+1) X (2 + 1) = 15 จำนวน

การหาห.ร.ม. และค.ร.น.

จากความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบเรารู้ว่าตัวหารที่หารได้ลงตัวคือตัวประกอบ ดังนั้นตัวหารร่วมมากจึงหมายถึงตัวประกอบร่วมที่มากที่สุดตัวอย่างเช่นจะหาห.ร.ม.ของ 120 และ 144 จากทฤษฎีมูลฐานของเลขคณิตจะได้ 120 = 2³ X 3¹ X 5¹ และ 144 = 2⁴ X 3² พิจารณา ห.ร.ม. จะได้ว่า ห.ร.ม.ของ 120 และ 144 คือ 2^min{3,4} X 3^min{1,2} X 5^min{0,1} =    2³ X 3¹ X 5⁰ = 24 และยังได้อีกว่า ค.ร.น.ของ 120 และ 144 คือ 2^max{3,4} X 3^max{1,2} X 5^max{0,1} =    2⁴ X 3² X 5¹ =720

หมายเหตุ พิจาณา ห.ร.ม. ของ 504 630 756 จากทฤษฎีมูลฐานเลขคณิตจะได้ 504 = 2³ X 3² X 7   630 = 2 X 3² X 5 X 7 และ 756 = 2² X 3³ X 7 จะได้ว่า

ห.ร.ม.คือ 2^min{3,1,2} X 3^min{2,3,2} X 5^min{0,0,1} =    2¹ X 3² X 5⁰ X 7¹ = 126   ในทำนองเดียวกันจะได้ ค.ร.น. คือ 2^max{3,1,2} X 3^max{2,3,2} X 5^max{0,0,1} X 7^max{1,1,1} =    2³ X 3³ X 5¹ X7¹ =7,560

หาตัวคูณ n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ผลคูณเป็นจำนวนกำลังสอง

พิจารณา 2⁵ X 3 X 5² X 7³ X n จะหาจำนวนนับ n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 2⁵ X 3 X 5² X 7³ X n เป็นจำนวนกำลังสอง จะได้ว่า 2⁵ X 3 X 5² X 7³ X n = 2⁶ X 3² X 5² X7¹ = (2⁵ X 3 X 5² X7³ )X(2X3X7) นั้นคือ n = 42ในทำนองเดียวกันหากต้องการหาจำนวนนับ n ที่ทำให้ 2⁵ X 3 X 5² X 7³ X n เป็นจำนวนกำลังสามจะได้ว่า 2⁵ X 3 X 5² X 7³ X n = 2⁶ X 3³ X 5³ X7³ = (2⁵ X 3 X 5² X7³ )X(2X3²X5) นั้นคือ n = 90

หาเลขชี้กำลัง n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ผลบวก 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ เป็นจำนวนกำลังสอง

สมมติให้ 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = x² จะได้ว่า 48² + 2ⁿ = x²  พิจารณา 2ⁿ = x² – 48² = (x + 48) (x-48)

จากทฤษฎีหลักมูลฐานของเลขคณิตจะได้ว่า (x + 48)(x-48)สามารถเขียนได้ในรูปของ 2ⁿ

จะเห็นว่า 2⁵ X 3 = 2^b X (2^a-b – 1) สรุปได้ว่า b=5 และ a-b = 2 ดังนั้น n=a+b=2+10=12

การยืนยันหรือสรุปข้อเท็จจริงบางอย่าง

จัดรูปจะได้ 2n² = m² ต่อไปเราจะแยกพิจารณาพจน์ทางซ้ายมือและพจน์ทางขวามือด้วยทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต

พิจารณาพจน์ทางซ้ายมือ ถ้า n มีตัวประกอบ k จำนวนแล้ว 2n² จะมีตัวประกอบอยู่ 2k + 1 จำนวนซึ่งเป็นจำนวนคี่ แต่หาพิจารณาพจน์ทางขวามือคือ m² จะมีจำนวนตัวประกอบเป็นจำนวนคู่เสมอ จะเห็นว่าจำนวนตัวประกอบของพจน์ซ้ายมือจะถูกเขียนในรูปผลคูณที่มีจำนวนเฉพาะอยู่เป็นจำนวนคี่ในขณะที่พจน์ขวามือจะมีอยู่เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตที่กล่าวไว้ว่าจำนวนนับใด ๆจะสามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาจะได้เพียงแบบเดียว

ขอบคุณแหล่งข้อมูล https://www.scimath.org/lesson-mathematics/item/7441-2017-08-11-04-47-44