สรุปบทเรียนเรื่องจำนวนเชิงซ้อน (complex number)

จำนวนเชิงซ้อน (complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน  ซึ่งทำให้สมการ  เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน  ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป  โดยที่  และ  เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก  และ  ว่าส่วนจริง(real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ  ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์  จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง  สมการพหุนามบางสมการ  เช่น  x  +  1 = 0  ไม่มีคำตอบเนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ  จะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ  ในที่นี้เราจะศึกษาวิธีการสร้างระบบจำนวนชนิดใหม่  เพื่อให้หาคำตอบของสมการพหุนามทุกสมการได้เสมอ  และเรียกจำนวนในระบบที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่าจำนวนเชิงซ้อน  ( complex  numbers)  ซึ้งนอกจากจะปัญหาในเรื่องของการมีคำตอบของสมการพหุนามใดๆ  แล้ว  ยังสามารถประยุกต์อย่างกว้างขวางกับสาขาต่าง  ๆ  ทางด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์

1.1  การสร้างจำนวนเชิงซ้อน  (Construction Of Complex Numbers)                จากที่กล่าวข้างต้นว่า สมการพหุนาม  x  +  1 = 0  ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงแต่นักคณิตศาสตร์ต้องการสร้างระบบจำนวนซึ้งขยายระบบจำนวนจริงออกไปเพื่อให้สามารถครอบคลุมทุกคำตอบของสมการพหุนามทั้งหมดได้  ดังนั้นจึงพิจารณาเซตที่มีจำนวนจริงเป็นสับเซต

บทนิยาม  จำนวนเชิงซ้อน  คือ  คู่อันดับ (a,b)  เมื่อ  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงและกำหนดการเท่ากัน

การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน  ดังนี้
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  (a,b)  และ  (c,d)
1. การเท่ากัน
( a , b ) =  ( c , d )  ก็ต่อเมื่อ  a = c  และ  b = d
2. การบวก
( a , b ) + ( c , d )  =  ( a + c , b + d )
3  การคูณ                                                ( a , b ) •  ( c , d )  =  ( ac – bd , ad + bc )
เราอาจเขียนแทน  ( a , c ) • ( c , d )  ด้วย  ( a , b )( c , d ) ก็ได้  เซตของจำนวนเชิงซ้อน

เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  C

ตัวอย่างที่  1  จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (-1,2)  และ (3,-4)
วิธีทำ  (-1,2)+(3,-4)  =  (-1 +  3 , 2  –  4)
=  (2 ,  – 2)
(-1,2)(3,-4)      =  ((-1)3 – 2 (- 4), ( -1 )( -4 ) + 2 • 3)
     =  (-3 + 8,  4 +6)
=  (5, 10)
พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูป  ( x , 0 )  จะเห็นว่า
( a , 0 ) + ( b , 0 )       =  ( a + b , 0 )
( a , 0 )( b , 0 )           =  ( ab – 0 , a0 + 0b )  =  ( ab , 0 )
ซึ่งเหมือนกับการบวก  และการคูณจำนวนจริง  ฉะนั้นเราสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนในรูป

( a , 0 )  ว่าเป็นจำนวนจริง  a  ตามข้อสังเกตนี้จะได้ว่า  เซตของจำนวนจริงเป็นซับเซตของจำนวนเชิงซ้อน  เมื่อเราแถนจำนวนเชิงซ้อน  ( a , b )  ด้วยจุด  ( a , 0 )  บนแกน  x  นั้นเอง

บทนิยาม
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  z =  (a,b)  เมื่อ  a  และ  b  เป็นจำนวนจริง

เรียก  a  ว่าส่วนจริง  (Real  part)  ของ  z และแทนด้วย  Re(z)

เรียก  b  ว่าส่วนจิตภาพ  (Imaginary  part)  ของ  z  และแทนด้วย  Im(z)

จากบทนิยามนี้  อาจกล่าวได้ว่า  จำนวนจริงก็คือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์  แต่ส่วนจินตภาพไม่ใช้ศูนย์  เรียกว่า  จำนวนจินตภาพแท้(purely  imaginary  number)
ต่อไปพิจารณาจำนวนเชิงซ้อน  ( 0 , 1 )  สังเกตว่า
( 0 , 1 )( 0 , 1 )  =  ( 0 – 1 , 0 + 0 )  =  (-1 , 0 )
ซึ่งจำนวนเชิงซ้อน  (-1,0)  คือจำนวนจริง  -1  นั่นเองเขียนแทนจำนวนเชิงซ้อน(0,1)ด้วยสัญลักษณ์  i  จะได้ว่า
i²  = -1
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน  ( a , b )  ใด ๆ
( a , b )   =  ( a , 0 ) + ( 0 , b )
=  ( a , 0 ) + ( b , 0 )( 0 , 1 )
=  a + bi
ฉะนั้น  จำนวนเชิงซ้อน  ( a , b )  สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์  a + bi

การกำหนดสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนในรูป  a + bi  เมื่อ  a  และ  b  เป็นจำนวนจริง  ทำให้การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้สมบัติต่าง ๆ  เกี่ยวกับการบวกและการคูณ  เช่นเดียวกับสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง และข้อตกลงว่า  i²  =  -1  เช่น                ( a + bi ) + ( c + di )        =  ( a + c ) + ( bi + di )
=  ( a + c ) + ( b + d ) i
( a + bi )( c + di )             =  a ( c + di ) + bi ( c + di )
=  ac + abi + bic + bdi²                                                               = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i
a + bi = c + di  ก็ต่อเมื่อ a = c  และ  b = d
ต่อไปเมื่อกล่าวว่า  z  =  a + bi  เป็นจำนวนเชิงซ้อน  จะถือว่า  a  และ  b  เป็นจำนวนจริงโดยไม่ต้องกล่าวซ้ำอีก

ตัวอย่างที่ 2  จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน  3 + 2i  และ  1 – i
วิธีทำ                     ( 3 + 2i ) + ( 1 –  i )         =  ( 3 + 1 )( 2 – 1 )i
=  4+i
( 3 + 2i )( 1 – i )               =  3( 1 – i ) + 2i ( 1 – i )
=  3 – 3i + 2i – 2i²
=  ( 3 + 2 ) + ( -3 + 2 )i
=  5 – i