จำนวนจริง(Real Number)
จำนวนจริง (Real Number)
ระบบจำนวนเลขเท่าที่มนุษย์คิดค้นพบในขณะนี้ประกอบด้วยเลขจำนวน 2 ระบบ คือ
1. ระบบจำนวนจริง (Real Number System)
2. ระบบจำนวนเชิงซ้อนประเภทจินตภาพ (Imaginary Number System)
สรุปเป็นแผนภูมิได้ดังนี้
จำนวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
1. จำนวนเต็ม (Integer)
2. เศษส่วน (Fraction) >>> จำนวนที่เขียนในรูปของเศษส่วนได้ เช่น 1/2, 2/3, 1/3, 50/49, 1, -1, 0
3. ทศนิยม (Repeating decimal) >>> เช่น 3.33333… เท่ากับ 10/3 หรือ 0.142857142857142857142857142857… เท่ากับ 1/7
จำนวนอตรรกยะ (irrational Number) คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ¹ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเอง จำนวนอตรรกยะ จำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ
1. จำนวนติดกรณ์บางจำนวน เช่น เป็นต้น
2. จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465
หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆ แล้ว p เป็นเลขอตรรกยะ
จำนวนเต็ม จากจำนวนที่มนุษย์ค้นพบได้เป็นครั้งแรกก็คือ จำนวนนับ นั่นก็คือ 1 2 3 4 5 ก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนนับ (ในที่นี้จะหมายถึงเซตของจำนวนนับ) แทนสัญลักษณ์ไว้ด้วย หากแต่ก็มีชื่อเรียกจำนวนนับดังข้างต้นได้อีกอย่างว่า “เซตของจำนวนเต็มบวก” ซึ่งแทนด้วย นั่นก็คือ จำนวนดังกล่าวก็ถือได้ว่าเป็นจำนวนเต็มด้วยเช่นกัน แทนสัญลักษณ์จำนวนเต็มด้วย ซึ่งจำนวนเต็มนี้ อาจจะเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ ก็ได้ แล้วแต่ว่าจะกำหนดมาให้
| 1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, – √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265… | ||
| 2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น | ||
| เขียนแทนด้วย 0.5000… | ||
| เขียนแทนด้วย 0.2000… | ||
| • ระบบจำนวนตรรกยะ | ||
| จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ | ||
| 1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น | ||
| 2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม | ||
| • ระบบจำนวนเต็ม | ||
| จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน | ||
| 1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I – โดยที่ I – = {…, -4, -3, -2, -1} เมื่อ I – เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ |
||
| 2. จำนวนเต็มศูนย์ (0) | ||
| 3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, …} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก |
||
| จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า “จำนวนนับ” ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, …} |
||
| • ระบบจำนวนเชิงซ้อน | ||
| นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้ | ||
| x2 = -1 | ∴ x = √-1 = i | |
| x2 = -2 | ∴ x = √-2 = √2 i | |
| x2 = -3 | ∴ x = √-3 = √3 i | |
| จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า “หนึ่งหน่วยจินตภาพ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i | ||
| ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ ” เซตจำนวนเชิงซ้อน ” (Complex numbers) | ||
สมบัติของจำนวนจริง
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติการสะท้อน a = a |
| 2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a |
| 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c |
| 4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c |
| 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc |
| • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง |
| กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง |
| 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c |
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c |
| 4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0 |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก |
| 5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a |
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก |
| สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง |
| กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ |
| 1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง |
| 2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba |
| 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c |
| 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1 |
| นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ |
| 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0 | ||||
| นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 | ||||
| 6. สมบัติการแจกแจง | ||||
| a( b + c ) = ab + ac | ||||
| ( b + c )a = ba + ca | ||||
| จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้ | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กฎการตัดออกสำหรับการบวก | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b | ||||
| ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กฎการตัดออกสำหรับการคูณ | |||
| เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||
| ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b | ||||
| ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 3 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a · 0 = 0 | ||||
| 0 · a = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 4 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| (-1)a = -a | ||||
| a(-1) = -a | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 5 | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 | ||||
| ทฤษฎีบทที่ 6 | เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a(-b) = -ab | ||||
| (-a)b = -ab | ||||
| (-a)(-b) = ab | ||||
| เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น |
||||
| • การลบจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ | |||
| a- b = a + (-b) | ||||
| นั่นคือ a – b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b | ||||
| • การหารจำนวนจริง | ||||
| บทนิยาม | เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0 | |||
|
||||
|
||||
การแก้สมการตัวแปรเดียว
| บทนิยาม | สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป | |||
| anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 | ||||
| เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n” | ||||
| ตัวอย่างเช่น | x3 – 2×2 + 3x -4 = 0 | |||
| 4×2 + 4x +1 = 0 | ||||
| 2×4 -5×3 -x2 +3x -1 = 0 | ||||
| • การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2 | ||||
| สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ | ||||
| ทฤษฎีบทเศษเหลือ | ||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||
| ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ | ||||
| การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) | ||||
|
||||
| ทฤษฎีบทตัวประกอบ | ||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||
| พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 | ||||
|
||||
| แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว | ||||
| นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x) | ||||
| ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ | ||||
| เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 | ||||
| โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 | ||||
| ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม | ||||
สมบัติของการไม่เท่ากัน
| บทนิยาม | a < b หมายถึง a น้อยกว่า b | |||||||||||||
| a > b หมายถึง a มากกว่า b | ||||||||||||||
| • สมบัติของการไม่เท่ากัน | ||||||||||||||
| กำหนดให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ | ||||||||||||||
| 1. | สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c | |||||||||||||
| 2. | สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c | |||||||||||||
| 3. | จำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ | |||||||||||||
| a เป็นจำนวนจริงบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 | ||||||||||||||
| a เป็นจำนวนจริงลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0 | ||||||||||||||
| 4. | สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เท่ากับศูนย์ | |||||||||||||
| ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc | ||||||||||||||
| ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc | ||||||||||||||
| 5. | สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b | |||||||||||||
| 6. | สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ | |||||||||||||
| ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b | ||||||||||||||
| ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b | ||||||||||||||
| บทนิยาม |
|
|||||||||||||
ช่วงของจำนวนจริงและการแก้อสมการ
| กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b | |
| 1. ช่วงเปิด (a, b) | |
| (a, b) = { x | a < x < b } | |
| 2. ช่วงปิด [a, b] | |
| [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } | |
| 3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] | |
| (a, b] = { x | a < x ≤ b } | |
| 4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) | |
| [a, b) = { x | a ≤ x < b } | |
| 5. ช่วง (a, ∞) | |
| (a, ∞) = { x | x > a} | |
| 6. ช่วง [a, ∞) | |
| [a, ∞) = { x | x ≥ a} | |
| 7. ช่วง (-∞, a) | |
| (-∞, a) = { x | x < a} | |
| 8. ช่วง (-∞, a] | |
| (-∞, a] = { x | x ≤ a} | |
| • การแก้อสมการ | |
| อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจำนวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจำนวนดังกล่าว | |
| คำตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง | |
| เซตคำตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้อสมการเป็นจริง | |
| หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว | |
| เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น | |
| 1. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน | |
| ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c | |
| 2. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน | |
| ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc | |
| ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc | |
| ตัวอย่างที่ 1 | จงหาเซตคำตอบของ x + 3 > 12 | |||
| วิธีทำ | x + 3 | > | 12 | |
| ∴ | x + 3 + (-3) | > | 12 + (-3) | |
| x | > | 9 | ||
| ∴ | เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞) | |||
| ตัวอย่างที่ 2 | จงหาเซตคำตอบของ 2x + 1 < 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| วิธีทำ | 2x + 1 | < | 9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∴ | 2x + 1 + (-1) | < | 9 + (-1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2x | < | 8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
< |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | < | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∴ | เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ตัวอย่างที่ 3 | จงหาเซตคำตอบของ 4x – 5 ≤ 2x + 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| วิธีทำ | 4x – 5 | ≤ | 2x + 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4x – 5 + 5 | ≤ | 2x + 5 + 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4x | ≤ | 2x + 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4x – 2x | ≤ | 2x + 10 – 2x | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2x | ≤ | 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
≤ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | ≤ | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∴ | เซตคำตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ตัวอย่างที่ 4 | จงหาเซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| วิธีทำ | ถ้า (x – 3)(x – 4) | > | 0 แล้วจะได้ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x – 3 | > | 0 และ x – 4 > 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | > | 3 และ x > 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∴ | เมื่อ x – 3 | > | 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x > 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| หรือ x – 3 | < | 0 และ x – 4 < 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | < | 3 และ x < 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∴ | x – 3 | < | 0 และ x – 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| นั่นคือ เซตคำตอบของ (x – 3)(x – 4) > 0 คือ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมกาีได้ดังนี้ | ||
| กำหนดให้ x, a, b เป็นจำนวนจริง และ a < b แล้ว | ||
| 1. ถ้า (x – a)(x – b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b | ||
| 2. ถ้า (x – a)(x – b) < 0 จะได้ a < x < b | ||
| 3. ถ้า (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b | ||
| 4. ถ้า (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b | ||
| 5. ถ้า | > 0 จะได้ x < a หรือ x > b | |
| 6. ถ้า | < 0 จะได้ a < x < b | |
| 7. ถ้า | ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b | |
| 8. ถ้า | ≤ 0 จะได้ a ≤ x < b | |
| หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้ | ||
ค่าสัมบูรณ์
| บทนิยาม กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง | |
| นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ | |
| • สมบัติของค่าสัมบูรณ์ | |
| 1. |x| = |-x| | |
| 2. |xy| = |x||y| | |
| 3. | x – y | = | y – x | | |
| 4. |x|2 = x2 | |
| 5. | x + y | ≤ |x| +|y| | |
| 6. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก | |
| |x| < a หมายถึง -a < x < a | |
| |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a | |
| 7. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก | |
| |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | |
| |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a | |
