จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers)

                เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์  จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
                นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น 

ระบบจำนวนที่เรารู้จักกันและได้เรียนรู้ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 คือระบบจำนวนจริง(Real Number) แต่ระบบ

จำนวนจริงยังไม่สามารถตอบคำถามบางข้อได้เช่นถ้าเราต้องการแก้สมการพหุนาม

x2+1=0x2+1=0

x2=−1x2=−1

ซึ่งเราจะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดเลยที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบหนึ่ง

ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงแก้ปัญหานี้โดยสร้างระบบจำนวนขึ้นอีกระบบคือ ระบบจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเราจะได้เรียนรู้กันในชั้น ม.5 นี้

สิ่งแรกที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนคือ นิยามของจำนวนเชิงซ้อน มาดูนิยามกันเลยคับ

นิยาม จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1)(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d)  ก็ต่อเมื่อ a=ca=c  และ b=db=d

2)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

นี่คือนิยามเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน และข้อกำหนดเกี่ยวกับการคูณการบวก การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเราจำเป็นต้องจำให้ได้

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(4,3) และ z2=(2,5)z1=(4,3) และ z2=(2,5) จงหา z1+z2,z1⋅z2z1+z2,z1⋅z2

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำตามข้อกำหนดในนิยามเลยคับ

z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)z1+z2=(4,3)+(2,5)=(4+2,3+5)=(6,8)

z1⋅z2z1⋅z2

เริ่มหากันเลยคูณกันตามนิยามเลยครับ

นี่คือการบวกและการคูณกันของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งไม่ยากทำตามนิยามได้เลยคับ

ต่อไปมาดูนิยามเพิ่มเติมของจำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียน a ว่าส่วนจริง(real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

1. จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1) (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d

2) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

2. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

หมายเหตุ : เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้น จึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่า โดย

เรียก aa ว่า ส่วนจริง (Real part)

เรียก bb ว่า ส่วนจินตภาพ (Imaginary part)

ส่วนการบวก การลบ การคูณ ของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็จะเหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไป

 

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z1=(2,−4) 

จงหาz1=(2,−4) 

จงหา Re(z1)Re(z1)  และ  Im(z1)Im(z1)

วิธีทำ ง่ายๆเลยคับตามนิยามข้างบนน่ะ

Re(z1)=2Re(z1)=2

Im(z1)=−4Im(z1)=−4

เนื่องจาก จำนวนเชิงซ้อนใดๆที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b)  สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ a+bia+bi  ได้ ดังนั้นเขาจึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi  เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่าครับ ตัวอย่างเช่น

(2,4)(2,4)  มันก็คือ   2+4i2+4i

(−3,9)(−3,9)  มันก็คือ   −3+9i−3+9i

(−8,−2)(−8,−2)  มันก็คือ   −8−2i−8−2i   นั่นเองครับ

ต่ออีกนิดหนึ่งจำนวนเชิงซ้อนเขียนให้อยู่ในรูป  a+bia+bi   

จะเรียก  aa  ว่าส่วนจริง  (Real part) 

จะเรียก bb ว่าส่วนจินตภาพ(Imaginary part)

ตัวอย่าง กำหนดจำนวนเชิงซ้อน  z=7+9iz=7+9i  จงหา

1. Re(z)Re(z) [หมายถึงส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z]

2. Im(z)Im(z) [หมายถึงส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z]

วิธีทำ  ข้อนี้ง่ายๆเลยครับ

จาก   z=7+9iz=7+9i  จะได้

Re(z)=7Re(z)=7

Im(z)=9Im(z)=9

ส่วนการบวก การลบการคูณของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็ทำเหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไปครับ เช่น

ตัวอย่าง กำหนด z1=2−4i,z2=4+6iz1=2−4i,z2=4+6i  จงหา

1.1) จงหาค่า z1+z2

1.2)  จงหาค่า z1⋅z2

    อย่าลืมนะ i2=−1i2=−1

1.3) จงหาค่า z1−z2

z1−z2=(2−4i)−(4+6i)2−4i−4−6i2−4−4i−6i−2−10i

=(2−4i)−(4+6i)

=2−4i−4−6i

=2−4−4i−6

=−2−10i

รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน