คณิตศาสตร์ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

เป็นที่ทราบกันดีว่ากระบวนการทางวิทยาศาสตร์มีรูปแบบการค้นหาความรู้ที่เป็นเหตุเป็นผล ในทางกฏหมายก็ใช้การอ้างเหตุผลการตัดสิน พิพากษา ในเศรษฐศาสตร์และสังคมต่างก็โน้มน้าวและสร้างความน่าเชื่อถือด้วยกระบวนการที่เป็นเหตุเป็นผล จะเห็นว่าตรรกศาสตร์ซึ่งเป็นศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับการใช้เหตุผลมีบทบาทสำคัญในการสร้างและพัฒนารากฐานให้กับศาสตร์ต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์ที่อาศัยเพียงโครงสร้างคณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ ก็สามารถค้นพบความจริงพร้อมตรวจสอบความจริงได้โดยไม่ต้องอาศัยเครื่องมืออื่น ที่สำคัญยิ่งคือศาสตร์ด้านคอมพิวเตอร์จำเป็นอาศัยตรรกศาสตร์ในการสั่งการทำงานของเครื่องจักร จะเห็นว่าตรรกศาสตร์ถูกนำไปหลากหลายบริบทตามศาสตร์นั้นด้วยเหตุนี้จึงมีความจำเป็นที่ต้องศึกษาตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์เพื่อสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในทุกบริบทดังที่กล่าวมาข้างต้น

ภาพที่ 1 ตารางดำเนินการทางตรรกศาสตร์
ที่มา วีระ ยุคุณธร

เป็นที่ทราบกันดีว่ากระบวนการทางวิทยาศาสตร์มีรูปแบบการค้นหาความรู้ที่เป็นเหตุเป็นผล ในทางกฏหมายก็ใช้การอ้างเหตุผลการตัดสิน พิพากษา ในเศรษฐศาสตร์และสังคมต่างก็โน้มน้าวและสร้างความน่าเชื่อถือด้วยกระบวนการที่เป็นเหตุเป็นผล จะเห็นว่าตรรกศาสตร์ซึ่งเป็นศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับการใช้เหตุผลมีบทบาทสำคัญในการสร้างและพัฒนารากฐานให้กับศาสตร์ต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์ที่อาศัยเพียงโครงสร้างคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์และการพิสูจน์ ก็สามารถค้นพบความจริงพร้อมตรวจสอบความจริงได้โดยไม่ต้องอาศัยเครื่องมืออื่น ที่สำคัญยิ่งคือศาสตร์ด้านคอมพิวเตอร์จำเป็นอาศัยตรรกศาสตร์ในการสั่งการทำงานของเครื่องจักร จะเห็นว่าตรรกศาสตร์ถูกนำไปหลากหลายบริบทตามศาสตร์นั้นด้วยเหตุนี้จึงมีความจำเป็นที่ต้องศึกษาตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์เพื่อสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในทุกบริบทดังที่กล่าวมาข้างต้น

ประพจน์

ในระบบการอ้างเหตุผลจะมีข้อความซึ่งเป็นกุญแจสำคัญถูกใช้ในการสรุปเรียกว่าสมมติฐาน ข้อความเหล่านี้ต้องได้รับการยอมรับและมีค่าความจริงเป็นจริงจึงนำมาสู่ผลที่เกิดขึ้น แต่หากข้อความที่เป็นสมมติฐานเป็นเท็จจะไม่สามารถสรุปผลได้ตัวอย่างเช่นเราตั้งข้อความที่เป็นสมมติฐานไว้ว่า “เกิดฝนตก” ผลที่เกิดขึ้นคือ ”ถนนเส้นนี้จะต้องเปียก” จะเห็นว่าข้อความที่เป็นสมมติฐานนั้นสามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จ ถ้าฝนตกจริงเราก็สามารถสรุปได้ว่าถนนจะต้องเปียกอย่างแน่นอน แต่ถ้าฝนไม่ได้ตก(ฝนตกเป็นเท็จ) เราจะไม่สามารถสรุปได้ว่าถนนเปียกหรือไม่ ข้อความสมมติฐานจำเป็นจะต้องเป็นข้อความที่สามารถบอกได้ว่าจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง เราเรียกข้อความประเภทนี้ว่า ประพจน์ ตัวอย่างข้อความที่เป็นประพจน์เช่น “78 > 60” “พลเอกประยุทธ์ จันทร์โอชาเป็นนายกรัฐมนตรีของประเทศไทย” และ ”ประเทศไทยมี 77 จังหวัด” สำหรับตัวอย่างของข้อความที่เป็นเท็จได้แก่ “78 < 60” “กาญจนบุรีเป็นจังหวัดที่อยู่ในภาคกลางของประเทศไทย” และ “0 ไม่ใช่จำนวนคู่” เป็นต้น

หากเราพิจารณาข้อความข้างต้นจะเห็นว่า ข้อความดังกล่าวสามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ โดยไม่เกี่ยวข้อกับความรู้สึกหรือความเชื่อ แต่หากมีการใช้ความรู้สึกหรือความเชื่อในการตัดสินเช่นข้อความที่กล่าวว่า กาแฟร้านที่ 1 หอมกว่ากาแฟร้านที่ 2 แม้ว่าข้อความเหล่านี้อาจจะเป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งภายใต้ความรู้สึกหรือความคิดของแต่ละบุคคล แต่เราจะไม่ถือว่าข้อความนี้เป็นประพจน์ตามหลักตรรกศาสตร์ เพราะหากเรานำข้อความกลุ่มนี้ไปตั้งเป็นสมมติฐานแล้วจะนำมาซึ่งข้อสรุปที่ไม่เป็นเอกภาพ จะเห็นได้ว่าข้อความที่เป็นสมมติฐานนั้นต้องเป็นประพจน์ซึ่งมีบทบาทสำคัญต่อกลไกการอ้างเหตุผลเชิงตรรกศาสตร์เพราะค่าความสมมติฐานที่เปลี่ยนไปจะนำมาซึ่งข้อสรุปที่ต่างกันด้วย

อย่างไรก็ตามในกระบวนการอ้างเหตุผลนั้นจะมีข้อความอย่างน้อย 2 ข้อความคือข้อความที่เป็นสมมติฐาน และข้อความที่เป็นข้อสรุป แต่ในบ้างครั้งการจะตัดสิน หรือสรุปผลของเหตุการณ์ต่าง ๆ อาจมีสมมติฐานมากกว่าหนึ่งข้อ หรืออาจได้ข้อสรุปมากว่าหนึ่งข้อก็เป็นได้ ในหัวข้อถัดไปจึงเป็นการศึกษาการเชื่อมโยงระหว่างข้อความตั้งแต่สองข้อความขึ้นไป

การดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์

การเชื่อมโยงระหว่างประพจน์ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไปแล้วทำให้เกิดประพจน์ใหม่ เราเรียกการเชื่อมโยงนี้ว่าการดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์ ตัวดำเนินการเชิงตรรกศาสตร์ประกอบด้วยคำว่า “และ” “หรือ” “ถ้า-แล้ว” และ“ก็ต่อเมื่อ” นอกจากนี้ยังมีตัวดำเนินการนิเสธซึ่งไม่ได้ทำหน้าที่เชื่อมประพจน์ตั้งแต่สองประพจน์ขึ้นไป แต่ใช้สร้างประพจน์ที่มีความจริงตรงกันช้ามกับประพจน์หนึ่ง

ตัวดำเนินการนิเสธ

          ดังที่กล่าวมาในข้างต้นการดำเนินการนิเสธจะทำให้ได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์เดิมด้วยการเพิ่มคำว่า “ไม่” ลงในประพจน์ตั้งต้นนั้นคือถ้าเรากำหนดให้ P เป็นประพจน์แล้วนิเสธของ P เขียนแทนด้วย “P’” จะได้ว่า

กรณีที่ 1 ประพจน์ P มีค่าความจริง ( T ) จะได้ว่า P’ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ( F )

กรณีที่ 2 ประพจน์ P มีค่าความเท็จ ( F ) จะได้ว่า P’ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ( T )

ตัวอย่างเช่น ให้ P := 78 > 60 มีค่าความจริงเป็นจริงดังนั้น P’ := “78 ไม่มาก 60”หรือ “78 น้อยกว่าหรือเท่ากับ 60” มีค่าความจริงเป็นเท็จ ในทำนองเดียวกันถ้าให้ P := 78 < 60 ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จแล้วประพจน์ P’ := “78 ไม่น้อยกว่า 60” หรือ “78 มากกว่าหรือเท่ากับ 60” จะค่าความจริงเป็นจริง

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการหรือ

          ในตัวอย่างข้างต้นเราจะพบการใช้คำว่าหรือเชื่อมระหว่างประพจน์สองประพจน์คือข้อความ “78 มากกว่าหรือเท่ากับ 60” ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง ประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์คือ “78 มากกว่า 60” กับ “78 เท่ากับ 60” เชื่อมกันด้วยคำว่าหรือ มีค่าความจริงเป็นจริงและเป็นเท็จตามลำดับ สังเกตว่าเมื่อเชื่อมกันด้วยคำว่าหรือแล้วประพจน์ดังกล่าวความมีค่าความจริงเป็นจริง นั้นแสดงว่าประพจน์ที่มีใช้คำเชื่อมหรือหากมีประพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งประพจน์เป็นจริงแล้วประพจน์ดังกล่าวจะเป็นจริงด้วย กล่าวได้อีกว่าคำเชื่อมหรือนั้นเป็นคำเชื่อมเผื่อเลือก เมื่อกำหนดให้ P และ Q เป็นประพจน์ P หรือ Q จะเป็นเท็จ เมื่อ P เป็นเท็จ และ Q เป็นเท็จ

ข้อควรระวังการตีความคำว่าหรือ ในทางภาษานั้น หรือ อาจให้ความหมายอีกนัยยะคือ หรือ แบบให้เลือกอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นจำนวนเต็มใด ๆเป็นจำนวนคี่ หรือ จำนวนคู่ ซึ่งจะเห็นว่าประพจน์ย่อยจะเป็นจริงทั้งคู่ไม่ได้ แต่ในทางตรรกศาสตร์ถ้า P เป็นจริงและ Q เป็นจริง P หรือ Q เป็นจริง

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการ

          สมมติให้ P := “10 < 25” และ Q := “10 > 5” จะเห็นว่าต่างมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ พิจารณาข้อความ P และ Q := “10 < 25 และ 10 > 5” อาจเขียนได้เป็น “5 < 10 <25 “ ซึ่งเป็นจริง แต่หากมีประพจน์ย่อยประพจน์หนึ่งเป็นเท็จจะทำให้ประพจน์ที่เชื่อมด้วยคำว่าและเป็นเท็จทันที นั้นคือประพจน์ P และ Q จะเป็นจริง เมื่อ P เป็นจริง และ Q เป็นจริง

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการถ้าแล้ว

รูปแบบการเชื่อมที่สาม เป็นการเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์ในรูปของการแจงเหตุสู่ผลโดยจะมีประพจน์หนึ่งเป็นเหตุสมมติให้แทนด้วย P และอีกประพจน์หนึ่งเป็นผลแทนด้วย Q ข้อความแจงเหตุสู่ผลจะเขียนในรูปของ “ถ้า P แล้ว Q” เราจะยกตัวอย่างด้วยข้อความที่เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าเรานำสองไปหารจำนวนนับใด ๆได้ลงตัวจำนวนนั้นจะเป็นจำนวนคู่ เราจะพิจารณาค่าความจริงกรณีที่ P และ Q ถูกเชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว”ดังนี้

กรณีที่ 1 กรณีที่ประพจน์ของเหตุและผลเป็นจริงทั้งคู่

กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ลงตัว และ Q := 10 เป็นจำนวนคู่ จะเห็นว่า ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวแล้ว 10 เป็นจำนวนคู่เป็นจริง

กรณีที่ 2 กรณีที่ประพจน์ของเหตุเป็นจริงแต่ประพจน์ของผลเป็นเท็จ

กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ลงตัว และ Q := 10 ไม่เป็นจำนวนคู่ จะเห็นว่า ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวแล้ว 10 เป็นไม่จำนวนคู่เป็นเท็จ

สำหรับอีก 2 กรณีที่เหลือมักจะความสับสนให้กับผู้ที่ศึกษาตรรกศาสตร์คือกรณีที่ประพจน์ของเหตุเป็นเท็จ

กรณีที่ 3 กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว และ Q := 10 เป็นจำนวนคู่ พิจารณา ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวไม่ลงตัว แล้ว 10 เป็นจำนวนคู่ จะเห็นว่าไม่ว่า 10 จะหารสองลงตัวหรือไม่ก็ตาม 10 ยังคงเป็นจำนวนคู่อย่างแน่นอนนั้นคือหากค่าความจริงของประพจน์ที่เป็นผลเป็นจริงแล้วประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว” เป็นจริงเสมอ

กรณีที่ 4 กำหนดให้ P := 10 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว และ Q := 10 ไม่เป็นจำนวนคู่ พิจารณา ถ้า 10 หาร 2 ลงตัวไม่ลงตัว แล้ว 10 ไม่เป็นจำนวนคู่ข้อนี้เป็นจริง เนื่องจากประพจน์เหตุที่เป็นเท็จย่อมนำมาซึ่งการผลที่เป็นเท็จ ดังนั้นการที่เชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว” เมื่อประพจน์ของเหตุและผลเป็นเท็จทั้งคู่ย่อมเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ

จากทั้งสี่กรณีประพจน์ที่มีคำเชื่อม “ถ้า-แล้ว” จะเป็นเท็จเมื่อ ประพจน์ของเหตุเป็นจริงแต่ประพจน์ของผลเป็นเท็จ

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวดำเนินการก็ต่อเมื่อ

คำเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” เป็นคำที่ใช้แสดงความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งกันและกันของประพจน์สองประพจน์นั้นคือ P ก็ต่อเมื่อ Q หมายถึง ( ถ้า P แล้ว Q ) และ ( ถ้า Q แล้ว P ) จะเห็นว่าข้อความก็ต่อเมื่อประกอบด้วยประพจน์ย่อย 2 ประพจน์เชื่อมด้วยคำว่าและดังนั้น

กรณีที่ P ก็ต่อเมื่อ Q เป็นจริงเกิดจาก “ถ้า P แล้ว Q “ เป็นจริง และ “ถ้า Q แล้ว P“ เป็นจริงนั้นคือทั้ง P และ Q จะต้องเป็นจริง หรือ เป็นเท็จพร้อมกัน

กรณีที่ P ก็ต่อเมื่อ Q เป็นเท็จเกิดจาก “ถ้า P แล้ว Q “ เป็นเท็จ หรือ “ถ้า Q แล้ว P“ เป็นเท็จนั้นคือทั้ง P และ Q จะต้องเป็นจริง หรือ เป็นเท็จไม่พร้อมกัน

จะเห็นว่าถ้า P และ Q มีค่าความจริงเหมือนกันแล้ว P ก็ต่อเมื่อ Q จะเป็นจริง แต่ถ้า P และ Q มีค่าความจริงต่างกัน P ก็ต่อเมื่อ Q เป็นเท็จ

RETURN TO CONTENTS