ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์ (conic section)

ภาคตัดกรวย เป็นศัพท์บัญญัติ จากคำว่า “conic section” ซึ่งคำว่า conic เป็นคำคุณศัพท์ที่มาจากคำว่า “cone” ที่แปลว่ากรวย

ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพาราโบ ลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น

ภาคตัดกรวย

วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิด (เป็นวง) วงกลมนั้นถือเป็นกรณีพิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัดกรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรือเรียก เส้นกำเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรียกว่า พาราโบลา หากระนาบไม่อยู่ในแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิดไม่เป็นวง จะเรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้ว่าในกรณีนี้ระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่งบน และครึ่งล่าง ได้เป็นเส้นโค้งที่ขาดจากกันสองเส้น

ในกรณีที่เรียกว่าในภาษาอังกฤษว่า ดีเจนเนอเรต ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย และได้ผลของการตัดเป็น จุด เส้นตรง หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่านี้ไม่ได้ถูกรวมไว้ในภาคตัดกรวย

เส้นโค้งที่เกิดจาการตัดกรวย ประกอบด้วย

วงกลม (Circle)
วงรี (Ellipse)
พาราโบลา (Parabola)
ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ภาคตัดกรวยจากทางเดินของจุด

แต่ละประเภทของภาคตัดกรวยนั้น สามารถนิยามโดยการใช้เส้นทางเดินของจุด โดยทุก ๆ จุด P บนเส้นทางเดิน จะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติเฉพาะดังนี้

วงกลม : ระยะ (P, C) = r โดยที่ C คือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
พาราโบลา : ระยะ (P, F) = ระยะ (P, L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรียกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง กำหนดตายตัว และไม่ผ่านจุดโฟกัส เรียกว่า ไดเรกทริกซ์
วงรี : ระยะ (P, A) + ระยะ (P, B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางหลัก
ไฮเพอร์โบลา : ระยะ (P, A) – ระยะ (P, B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ (A,B)

ความเยื้อง (ECCENTRICITY)

ค่าความเยื้อง หรือ ค่าความเบี่ยงเบนจากศูนย์กลาง (eccentricity) ของภาคตัดกรวย เป็นค่าบ่งชี้ถึงความเบี้ยว หรือ เบี่ยงเบนไปจากความกลม โดยเมื่อความเยื้องมีค่าลดลง รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้จะมีรูปร่างเข้าใกล้ทรงกลมมากขึ้น

ถ้าเส้นตรง L คือไดเรกทริกซ์ และ F คือ จุดโฟกัส ค่าความเยื้อง e หาได้จาก

$\frac{dist(P,F)}{dist(P,L)} = e \qquad e \in\mathbb{R}^*_+$

โดยที่

$\,dist(P,F)$ คือ ระยะทางจากจุด P ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปยังจุดโฟกัส F
$\,dist(P,L)$ คือ ระยะทางจากจุด P ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ L

รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้ ขึ้นกับค่า e โดย

0 < e < 1เป็นรูปวงรี
e = 1 เป็นรูปพาราโบลา
e > 1 เป็นรูปไฮเพอร์โบลา

ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์

รูปแสดงการตัดกรวยด้วยระนาดในแนวต่าง ๆ

บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการสองตัวแปรกำลังสอง (quadratic equation) จะเป็นรูปภาคตัดกรวยเสมอ หากเราพิจารณาสมการที่อยู่ในรูป

แล้ว:

ถ้า h² = ab แล้ว จะได้สมการของรูป พาราโบลา
ถ้า h² < ab และ a $\ne$ b และ/หรือ h $\ne$ 0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงรี
ถ้า h² > ab แล้ว จะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลา
ถ้า h² < ab and a = b and h = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงกลม
ถ้า a + b = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลามุมฉาก

สมบัติทั่วไป

ภาคตัดกรวยนั้นมีรูปร่างที่มนสม่ำเสมอ ไม่มีจุดเปลี่ยนโค้ง (inflection point) ซึ่งเป็นสมบัติที่มีความสำคัญต่อการใช้งานหลายประเภท เช่น การใช้งานเกี่ยวกับแอโรไดนามิกส์ ซึ่งพื้นผิวนั้นจำเป็นต้องออกแบบเพื่อให้ของไหล ไหลผ่านอย่างสม่ำเสมอ (laminar flow) เพื่อป้องกันการเกิดการไหลทะลัก (turbulence)

การประยุกต์ใช้งาน

ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสำคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทำต่อกัน ตามกฏของนิวตัน นั้นจะมีรูปร่างเป็นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่วมของทั้งสองวัตถุนั้นอยู่นิ่ง หากทั้งสองนั้นถูกดึงดูดอยู่ด้วยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็นรูปวงรี หากวัตถุทั้งสองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็นรูปพาราโบลา หรือ ไฮเปอร์โบลา ดู ปัญหาวัตถุ N ชิ้น

ในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) นั้น ภาพฉายบนระนาบ ของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้นจะเหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะการฉาย หรือที่เรียกว่า การแปลงเชิงภาพฉาย (projective transformation)

มีคำศัพท์ที่กล่าวถึงส่วนประกอบต่างๆ ของภาคตัดกรวย ดังนี้

วงกลม CIRCLE

ส่วนประกอบของวงกลม

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงกลม:

วงกลม (Circle) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน

จุดศูนย์กลาง Center
รัศมี Radius
เส้นรอบวง

วงรี ELLIPSE

ส่วนประกอบต่างๆ ของวงรี

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงรี:

วงรี คือ เซตของจุดทุกจุดในระนาบ ซึ่งมีผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่ F₁ และ F₂ มีค่าคงตัวเสมอ และมีค่ามากกว่าระยะทางระหว่างจุด F₁ และ F₂จุดคงที่ F₁ และ F₂ เรียกว่าโฟกัส (Focus) ของวงรี

จุดยอด Vertex
โฟกัส Focus
จุดศูนย์กลาง Center
แกนเอก Major Axis
แกนโท Minor Axis
จุดปลายแกนโท

พาราโบลา PARABOLA

ส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา:

พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง และห่างจากเส้นคงที่เส้นหนึ่งเป็นระยทางเท่ากัน
เรียกจุดคงที่ว่าจุดโฟกัส และเรียกเส้นคงที่ว่าเส้นกำกับ หรือเส้นไปเรกตริกซ์ (Directrix)

โฟกัส Focus
จุดยอด Vertex
เลตัสเรกตัม Latus rectum
เส้นบังคับ Directrix

ไฮเพอร์โบลา HYPERBOLA

ส่วนประกอบต่างๆ ของไฮเพอร์โบลา

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของไฮเพอร์โบลา:

ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่ 2 จุด มีค่าคงตัวเสมอ
เรียกจุดคงที่ 2 จุดนี้ว่าจุดโฟกัส