สรุปความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
คู่อันดับ และผลคูณคาร์ทีเซียน
• คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

สมบัติของคู่อันดับ
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

นั่นคือ A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว

1.

A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø
2. A × Ø = Ø × A = Ø
3. A × ( B ∪ C )
= (A× B) ∪(A × C)

(A ∪ B) × C = (A× C) ∪(B × C)
4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)
(A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)
5. A × ( B – C ) = (A× B) – (A × C)
(A – B) × C ) = (A× C) – (B × C)

กราฟของความสัมพันธ์
ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้
บทนิยาม
ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R

ฟังก์ชัน
ความหมายของฟังก์ชัน
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน
นั่นคือ
ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2
หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

ลักษณะของฟังก์ชัน
• ฟังก์ชันจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B
• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f
แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B
หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า
f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2
• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df
♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A

ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2)
♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A

ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2)

เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว ความสัมพันธ์ มีนิยามดังต่อไปนี้

       ความสัมพันธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ โดยที่คู่อันดับแต่ละคู่ เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซตสองเซต เช่น

• {(A, X), (B, Y), (C, Z), (D, W)}
• {(Galaxy Note 10, Samsung), (iPhone 11, Apple), (Find X, Oppo), …}
• {(1, 1), (2, 4), (3, 9), …}

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาค่า x,y เมื่อ (x + 1, 2y) = (-5, 11)

        ผลคูณคาร์ทีเชียน เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนอยู่ในรูปแบบดังนี้

A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B}

***ข้อสังเกต “ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A,B ทุกอันต้องเป็นสับเซตของ A×B”***

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาผลคูณคาร์ทีระหว่างเซตต่อไปนี้ {a, b} และ {a, b, c}

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A

• A×{} = {}
• {}×A = {}
• A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
• A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
• A×(B-C) = (A×B) – (A×C)
• n(A×B) = n(A).n(B)

           ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ AB เขียนได้ว่า

r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

        ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข คือ เซตของคู่อันดับ โดยที่สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับ สัมพันธ์กับสมาชิกตัวหลัง ในรูปแบบเดียวกันในทุก ๆ คู่อันดับ เช่น

• A = {โตเกียว, กรุงเทพ, จาการ์ต้า, ปักกิ่ง, โซล}
• B = {ไทย, จีน, ญี่ปุ่น, เกาหลี, อินโดนีเซีย, อินเดีย, รัสเซีย}

ความสัมพันธ์จาก A ไป B แบบ “เมืองหลวง – ประเทศ” คือ {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (จาการ์ต้า, อินโดนีเซีย), (ปักกิ่ง, จีน), (โซล, เกาหลี)}

หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×B | a เป็นเมืองหลวงของ b}

• A = {1, 3, 5, 7, 9}

ความสัมพันธ์จาก A ไป A แบบ “บวกกันได้ 10” คือ {(1, 9), (3, 7), (5, 5), (7, 3), (9, 1)}

หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×A | a + b = 10}

        กราฟของความสัมพันธ์ หากความสัมพันธ์ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขแล้ว เราสามารถเขียนความสัมพันธ์โดยใช้กราฟได้ โดยการนำคู่อันดับต่างๆ ของความสัมพันธ์ไปวาดลงบนกราฟ เช่น

ให้    A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {5, 6, 7, …, 20}
โดย r = {(x, y) ∈ A×B | y = 3x}
แจกแจงสมาชิกได้เป็น r = {(2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)}

จะวาดกราฟได้ดังนี้

ในกรณี r เป็นความสัมพันธ์ของจำนวนจริง มักจะวาดกราฟได้เป็นเส้น  เช่น

r = {(x, y) ∈ R×R | y = 3x}

จะวาดกราฟได้ดังนี้

เคล็ดลับการพิจารณากราฟ พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ได้ดังนี้

• กราฟจะผ่านจุด (a, b) เมื่อ แทนค่า a และ b ลงในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
• จุดตัดแกน x คือ จุดที่ y = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน x
• จุดตัดแกน y คือ จุดที่ x = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน y
• กราฟอยู่เหนือแกน x เมื่อ y > 0
• กราฟอยู่ใต้แกน x เมื่อ y < 0

ตัวอย่างโจทย์ – กราฟต่อไปนี้ผ่านจุด (0, 1) หรือไม่

• x + y = 1
• x²-y² = 1

ตัวอย่างโจทย์ – จงหาจุดตัดแกน x และ y ของกราฟต่อไปนี้

• 2x + 1 = 3y

        โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ 

       โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Dr

Dr = {x | (x, y) ∈ r}

        เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr

Rr = {y | (x, y) ∈ r}

เช่น

r = {(1, 3), (2, 8), (3, 10), (3, -5), (4, 19), (8, 3), (100, -5), (-9, 22)}
Dr = {1, 2, 3, 4, 8, 100, -9}
Rr = {3, 8, 10, -5, 19, -5, 22}

r = {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (เบอร์ลิน, เยอรมันนี), (แคนเบอร์ร่า, ออสเตรเลีย), (โซล, เกาหลี), …}
Dr = เซตของเมืองหลวงทั่วโลก
Rr = เซตของประเทศทุกประเทศ