คณิตศาสตร์เรื่อง-ฟังก์ชันเอ็กโปเนนเชียลและลอการิทึม เบื้องต้น

ฟังก์ชันเอ็กโปเนนเชียลและลอการิทึม นักเรียนสามารถหาเซตคำตอบของสมการเอกซ์โพเนนเชียลและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล

       ฟังก์ชันเอ็กโปเนนเชียลและลอการิทึม
กฎของเลขยกกำลัง
ถ้า a,b เป็นจำนวนจริงใดๆจะได้
1. a^m+ aⁿ = a^m+n
2. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
3. (a^m)ⁿ = a^mn
f = { (x,y) | R x R⁺ | y = a^x ; a > 0 และ a น 1 } เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล จาก y = a^x , a > 0, a น 1 จะได้ x ∈ R และ y ∈ R⁺ นั่นคือ โดเมนเป็นเซตของจำนวนจริง และเรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริงบวก

1. ถ้า a > 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2. ถ้า 0 < a < 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันลด
3. สมบัติที่สำคัญคือ e^x = e^y ก็ต่อเมื่อ x = y ส่วนสมบัติอื่นๆมีเช่นเดียวกับเลขยกกำลัง

      การแก้สมการเอ็กโปเนนเชียล  
การแก้สมการเอกโพเนนเชียลที่มักพบอยู่บ่อยๆมี 4 วิธี คือ
1. ทำให้ฐานเท่ากัน คือทำให้ a^p(x) = a^q(x) แล้วสรุปว่า p(x) = q(x)
2. ทำให้กำลังเหมือนกันแต่ฐานต่างกัน คือ a^p(x) = b^q(x) แล้วสรุปได้ว่า p(x) = 0
3.ทำให้เป็นเลขจำนวนเดียวยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากับ 1 คือทำเป็น (abc)^u = 1 แล้วสรุปว่า u = 0

     การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

กลุ่มที่ 1 ฐานเหมือนกันเลขชี้กำลังต่างกัน

กลุ่มที่ 2 ฐานต่างกันเลขชี้กำลังเหมือนกัน

    การแก้สมการลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึมมีรูปแบบที่พบกันบ่อยๆอยู่ 4 วิธี คือ
1. แยกตัวประกอบ เช่น (log 4 x)³-(log 4 x)² – 2log 4 x = log 4 x (log 4 x – 2)( log 4 x + 1 ) = 0
2. เปลี่ยนรูป y = log_ax เป็น x = a^y
3. ทำให้เป็นลอการิทึมฐานเดียวกันมีค่าเท่ากันคือทำให้ log _a u = log _a v แล้วสรุปว่า u = v
4. แปลงรูปสมการโดยใช้สมบัติของลอการิทึม

    การแก้อสมการลอการิทึม อสมการลอการิทึมสามารถแก้ได้โดยใช้สมบัติต่อไปนี้คือ
1. กรณีที่ a > 0 จะได้ว่า log_au > log_a v ก็ต่อเมื่อ u > v
2. กรณีที่ 0 < a < 1 จะได้ว่า log_a u > log_a v ก็ต่อเมื่อ u < v
3. แปลงอสมการลอการิทึมให้อยู่ในรูปอสมการเอกซ์โพเนนเชียล เช่น
log₃( x + 2 ) < 4 = x + 2 < 3⁴