ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (อังกฤษ: fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem) ในคณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวน คือประโยคซึ่งกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้วิธีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

การพิสูจน์จะประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวก ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้น จะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้น ให้จำนวนนั้นคือ n ดังนั้น n ไม่สามารถเป็น 1 ได้เพราะว่าจะขัดแย้งกับสมมติฐานข้างต้น และ n ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะจำนวนเฉพาะคือผลคูณของจำนวนเฉพาะตัวเดียว ดังนั้น n จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า n แต่ n เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทผิด ดังนั้น a และ b ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ n = ab เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

ในส่วนของการพิสูจน์ว่า จำนวนทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้แบบเดียว เราจะใช้ข้อเท็จจริงว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์ ถ้า p หาร a ไม่ลงตัวแล้ว p และ a จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ จากเอกลักษณ์ของเบซู (Bézout’s identity) จะได้ว่ามีจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้

ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน
6936 = 2³ · 3 · 17² หรือ 1200 = 2⁴ · 3 · 5²
และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ
เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน

หุนาม ”x”2 + ”cx” + ”d” เมื่อ ”a + b. ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว (fundamental theorem of arithmetic หรือ unique factorization theorem) ในคณิตศาสตร์และทฤษฎีจำนวน คือประโยคซึ่งกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้วิธีเดียวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นอย่างอื่น ถ้าเราไม่สนใจลำดับของตัวประกอบ เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราจะถือว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

ผลคูณว่าง

ผลรวมว่าง (อังกฤษ: empty sum, nullary sum) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงผลของการบวกจำนวนที่ไม่มีอยู่ เช่นจากผลรวม (summation) เป็นต้น ค่าของผลรวมว่างจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การบวก

ข้อเท็จจริงนี้มีประโยชน์ต่อการศึกษาวิยุตคณิตและพีชคณิตมูลฐาน ด้วยกรณีที่ว่า 0a = 0 นั่นคือ การคูณจำนวน a ใดๆ กับศูนย์จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เสมอ เนื่องจาก a ถูกบวกเข้าไปเป็นจำนวน 0 ตัว ซึ่งหมายความว่าไม่ได้ถูกบวกเข้าไปเลย

จำนวนเต็ม

ำนวนเต็ม คือจำนวนที่สามารถเขียนได้โดยปราศจากองค์ประกอบทางเศษส่วนหรือทศนิยม ตัวอย่างเช่น 21, 4, −2048 เหล่านี้คือจำนวนเต็ม แต่ 9.75, 5, √2 เหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็ม เศษของจำนวนเต็มเป็นเศษย่อยของจำนวนจริง และประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ (1, 2, 3,…) ศูนย์ (0) และตัวผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติ (−1, −2, −3,…) เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดมักแสดงด้วย Z ตัวหนา (หรือ \mathbb ตัวหนาบนกระดานดำ, U+2124) มาจากคำในภาษาเยอรมันว่า Zahlen แปลว่าจำนวน จำนวนเต็ม (พร้อมด้วยการดำเนินการการบวก) ก่อร่างเป็นกรุปเล็กที่สุดอันประกอบด้วยโมนอยด์เชิงการบวกของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็มก่อให้เกิดเซตอนันต์นับได้เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ สิ่งเหล่านี้ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตทำให้เข้าใจได้โดยสามัญว่า จำนวนเต็มซึ่งฝังตัวอยู่ในฟีลด์ของจำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนเต็มตรรกยะ เพื่อแยกแยะออกจากจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตที่ได้นิยามไว้กว้างกว่า

ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (อังกฤษ: prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย ดูบทความ รายชื่อจำนวนเฉพาะ สำหรับจำนวนเฉพาะ 500 จำนวนแรก สำหรับเลข 1 ไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะตามนิยาม เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดมักเขียนแทนด้วย \mathbb P เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นเลขคู่ ดังนั้นคำว่า จำนวนเฉพาะคี่ จะถูกใช้เพื่อหมายถึงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ใช่ 2.

ำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime หรือ relatively prime) ในคณิตศาสตร์ จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อ มันไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1, หรือกล่าวได้ว่า ถ้าตัวหารร่วมมาก คือ 1 ตัวอย่างเช่น 6 และ 35 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แต่ 6 และ 27 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะทั้งคู่หารด้วย 3 ลงตัว จำนวน 1 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มทุกจำนวน จำนวน 0 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 1 และ -1 เท่านั้น วิธีที่ใช้หาว่าจำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่อย่างรวดเร็ว คือใช้ ขั้นตอนวิธีแบบยุคล.

ำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime หรือ relatively prime) ในคณิตศาสตร์ จำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ก็ต่อเมื่อ มันไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1, หรือกล่าวได้ว่า ถ้าตัวหารร่วมมาก คือ 1 ตัวอย่างเช่น 6 และ 35 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แต่ 6 และ 27 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ เพราะทั้งคู่หารด้วย 3 ลงตัว จำนวน 1 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับจำนวนเต็มทุกจำนวน จำนวน 0 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 1 และ -1 เท่านั้น วิธีที่ใช้หาว่าจำนวนสองจำนวนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์หรือไม่อย่างรวดเร็ว คือใช้ ขั้นตอนวิธีแบบยุคล.

ทฤษฎีจำนวน

ทฤษฎีจำนวน (number theory) โดยธรรมเนียมเดิมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สาขานี้มีผลงานและปัญหาเปิดมากมายที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แม้กระทั่งผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ในปัจจุบัน สาขานี้ยังได้สนใจกลุ่มของปัญหาที่กว้างขึ้น ซึ่งมักเป็นปัญหาที่ต่อยอดมาจากการศึกษาจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน คำว่า “เลขคณิต” (arithmetic) มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงทฤษฎีจำนวน นี่เป็นการเรียกในอดีต ซึ่งในปัจจุบันไม่ได้รับความนิยมเช่นเคย ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า เลขคณิตชั้นสูง ซึ่งเลิกใช้ไปแล้ว อย่างไรก็ตามคำว่า “เลขคณิต” ยังปรากฏในสาขาทางคณิตศาสตร์อยู่ (เช่น ฟังก์ชันเลขคณิต เลขคณิตของเส้นโค้งวงรี หรือ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) ไม่ควรจะสับสนระหว่างคำว่า เลขคณิต นี้ กับเลขคณิตมูลฐาน (elementary arithmetic) หรือสาขาของตรรกศาสตร์ที่ศึกษาเลขคณิตเปียโนในรูปของระบบรูปนั.